Главная > Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Нерешенные вопросы.

Данные Моравец доказательства подтверждают гипотезу Буземанна-Гудерлея - Франкля о том, что гладкое околозвуковое течение вокруг произвольного профиля невозможно. Но этот результат сразу вызывает постановку новых задач.

Профили, для которых гладкое околозвуковое течение существует ("допустимые" профили), должны быть исключительными, но можно также спросить, являются или нет профили, для которых такое течение не существует, также исключительными. Другими словами, может ли быть так, что недопустимый профиль может быть преобразован в допустимый путем сколь угодно малого изменения? Если бы это было так, то следовало бы узнать относительную плотность допустимых и недопустимых профилей. Точная формулировка должна содержать определение "пространства профилей“, в котором множества могли бы характеризоваться топологическими свойствами, такими, как открытость, свойствами категории или мерой.

В общем установлено, что экспериментальные данные противоречат теоремам существования околозвукового течения, но нет согласия в том, почему имеет место это противоречие. В 1954 г. Го и Сирс [1] усмотрели противоречие между теорией и экспериментом в том факте, что, хотя теоретически и установлено существование непрерывных смешанных околозвуковых течений вокруг твердых границ, данные аэродинамических труб показывают, что когда на твердой границе совершается переход через скорость звука, то течение либо делается неустановившимся, либо содержит ударные волны, либо то и другое вместе. Карман [4] выразил аналогичное мнение. Предположение Буземанна — Гудерлея — Франкля рассматривалось как возможное объяснение этого противоречия. По этому поводу мы уже отмечали, что другим возможным объяснением могла бы быть неустойчивость непрерывных околозвуковых течений по отношению к малым нестационарным возмущениям. Этот вопрос был исследован Кантровицем [1] и Го [1].

С другой стороны, хотя гипотеза Буземанна-Гудерлея-Франкля может считаться доказанной, существуют недавние эксперименты, обнаруживающие гладкое околозвуковое течение для большого диапазона дозвуковых чисел Маха течения (Мишель, Маршо и Ле Галло [1, 2]). Следовательно, мы

снова имеем противоречие между экспериментом и теорией — но уже в другом смысле!

Выполнение эксперимента в аэродинамической трубе может быть истолковано как решение краевой задачи на некотором аналоговом вычислительном устройстве, но реальные течения всегда подвержены влиянию эффектов вязкости. Хорошо известно, что когда появляется ударная волна, то ее взаимодействие с пограничным слоем является взаимным. В теории течения несжимаемой жидкости эффект вязкости принимается во внимание посредством интерпретации пограничного слоя как небольшого изменения эффективной формы тела. Можно предположить, что в течении сжимаемой жидкости пограничный слой может изменить недопустимый профиль в допустимый и, следовательно, сделать возможным непрерывное околозвуковое течение.

Решение задачи об отыскании околозвукового течения по схеме конечных разностей, выполненное либо методом итераций, либо так называемым релаксационным методом, также можно считать некоторым "экспериментом". Сирс [1, 2] подчеркнул, что, хотя сходимость этих методов никоим образом не установлена, трудно согласовать теоремы несуществования с тем фактом, что вычисления не сопровождаются сигналами об опасности и приводят к гладким полям течения. То же самое относится в определенном смысле и к другим приближенным методам (см. ссылки в § 4 и работу Каплана [7]).

Может быть упомянута и другая возможность. Мы всюду предполагали, что потенциал скорости в местной сверхзвуковой зоне является достаточно гладкой функцией, в частности, что компоненты вектора скорости являются непрерывно дифференцируемыми. Но гиперболическое уравнение может обладать весьма дикими "обобщенными решениями". Например, простое уравнение "удовлетворяется" любой функцией как угодно патологической. Наличие слабых разрывов вдоль изолированных линий Маха, на которых производные от компонентов вектора скорости претерпевают скачки, не должно влиять на справедливость аргументации Моравец. Но не возможно ли, что рассматриваемые гладкие околозвуковые течения в сверхзвуковой области будут математически представляться более дикими обобщенными решениями с непрерывными, но не дифференцируемыми скоростями?

Суммируя сказанное, мы должны согласиться с весьма несовершенным состоянием нашего знания. Задача о гладком околозвуковом течении полностью еще не понята ни математиками, ни физиками. Однако уже сделан значительный прогресс и мы можем ожидать дальнейших достижений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление