Теорема о представлении.

Отметим одно важное следствие этих теорем. Предположим, что в области дана -квазиконформная функция Она является решением некоторого уравнения Бельтрами, и в соответствии с теоремой 1 это же уравнение обладает в гомеоморфным решением По теореме 4.2 есть аналитическая функция от Следовательно, каждая -квазиконформная функция допускает представление

где - аналитическая функция, а квазиконформное топологическое отображение. С другой стороны, теорема 6 показывает, что если ограничена, скажем, к невырожденными континуумами и I точками, то это же будет верно и для Если есть круг или какая-нибудь область, ограниченная жордановой кривой, то можно потребовать, чтобы отображало 2 на аналогичную область. В этом случае (см. теоремы 1а и 7) отображение х является взаимно однозначным и взаимно непрерывным также на границе области а его модуль непрерывности может быть вычислен в терминах и геометрии областей и 1

Формула представления (8.13) показывает, что квазиконформная функция является внутренней, т. е. обладает всеми топологическими свойствами аналитических функций. Так как решения равномерно эллиптических систем квазиконформны, то мы заключаем, что они удовлетворяют принципу максимума. На основании этих соображений в § 3 и были сделаны утверждения относительно отображения, связывающего физическую плоскость и плоскость годографа в дозвуковом течении.

Применение к течениям.

В качестве второго применения рассмотрим некоторое течение с переменной плотностью в канале. Область течения ограничена двумя кривыми простирающимися от до Функция тока ограничена и постоянна на каждой из кривых Так как комплексный потенциал является

квазиконформным, то он может быть записан в виде (8.13), причем будет топологическим квазиконформным отображением области течения. Из теорем 1 и 6 следует, что это отображение может быть выбрано так, что будет полосой 1. Аналитическая функция имеет ограниченную мнимую часть, которая постоянна на линиях Следовательно, она имеет вид (вещественная постоянная) Отсюда мы заключаем, что линии тока течения сжимаемой жидкости в канале топологически эквивалентны системе параллельных прямых. В частности, никакие две линии тока не могут пересекаться.

Рис. 8.1.

Точно таким же путем можно проанализировать течение сжимаемой жидкости вокруг профиля, в котором скорость в бесконечности принимает неравное нулю значение (подробности см. в работе автора Результат гласит: течение сжимаемой жидкости вокруг профиля топологически эквивалентно некоторому течению несжимаемой жидкости вокруг окружности Как хорошо известно, последнее дается комплексным потенциалом

где есть скорость в бесконечности, а циркуляция. В соответствие с тем, будет ли имеется одна разделяющая линия тока, или линия тока с точкой возврата на окружности, или одна самопересекающаяся линия тока (рис. 8.1). Согласно нашему результату, одна из этих трех возможностей должна иметь место и в течении сжимаемой жидкости.

Следует отметить, что эти результаты получены при единственном предположении, что плотность ограничена сверху

и снизу положительными числами. В частности, они применимы как к дозвуковым, так и к околозвуковым течениям. Однако их справедливость может быть нарушена в случае присутствия слабых скачков.