Сверхзвуковое включение, ограниченное скачком.

Можно ожидать, что возможен другой тип сверхзвукового включения, а именно сверхзвуковая область, ограниченная линией тока (часть некоторого препятствия), звуковой линией и слабым скачком за которым течение становится дозвуковым (рис. 19.5, а). К сожалению, не известно ни одного решения уравнений годографа, представляющего такую сверхзвуковую область.

Рис. 19.4.

Однако можно описать общий характер решений, которые могли бы дать требуемое поле течения. Мы ограничимся окрестностью точки, в которой звуковая линия пересекается со слабым скачком. Так как вектор скорости терпит разрыв при переходе через скачок, то две стороны линии будут иметь различные образы в плоскости годографа: дозвуковая сторона скачка отобразится на а сверхзвуковая — на (рис. 19.5, б). Следовательно, полной окрестности точки О соответствует полуокрестность ее образа О в плоскости годографа. Решение уравнений годографа должно быть найдено в области Оно должно быть таким, чтобы определенные уравнением (3.2) функции х, у отобразили и на одну и ту же кривую в физической плоскости. Следовательно, должно существовать определенное взаимно однозначное соответствие между точками и . В соответствующих точках потенциал скорости и функция тока должны принимать одинаковые значения. Это гарантирует непрерывность функций переходе через линию скачка в физической плоскости.

Заметим, что непрерывность означает непрерывность касательной составляющей вектора скорости (первое условие скачка), а непрерывность означает сохранение массы (второе условие скачка). Попытка построить решение с требуемыми свойствами была сделана Франклем [13]. В связи с этим он предложил некоторую новую краевую задачу для уравнения смешанного типа. См. Франкль [12] и Бицадзе [3, 4]. Франкль работает с газом Трикоми, который в этом случае значительно удобнее, и делает дополнительное предположение о том, что линия скачка прямая и пересекается линиями тока под прямым углом.

Рис. 19.5.

Дифференциальное уравнение для функции тока на плоскости (§ 5) является после уничтожения несущественных постоянных уравнением Трикоми Прямой скачок должен отобразиться на отрезок оси Франкль выбирает решение, определенное в полуокрестности 60 точки и имеющее вид

где - некоторая четная функция, а именно

Он показывает, что условия задачи исключают все значения параметра кроме 8/3, а для этого значения решение есть многочлен. Таким образом, он получает выражения

К сожалению, это решение не вполне удовлетворительно. Действительно, индуцированное этим решением отображение плоскости в физическую плоскость не является взаимно однозначным; оно имеет складки на двух предельных линиях

в полуплоскости Франкль тем не менее утверждает, что его решение является хорошим приближением к искомому течению. Правда, линии тока в физической плоскости образуют петли, но если эти петли отбросить, то остающийся разрыв потенциала будет малой величиной более высокого порядка, чем значения самого потенциала. Автор не может согласиться с этими доводами и чувствует, что задача построения примера течения, в котором звуковая линия пересекается со слабым скачком, все еще остается открытой. Франкль предполагает, что его результат не может быть улучшен и что предельные линии не могут быть устранены отказом от гипотезы о прямолинейности скачка.

Трудность построения точного решения, описывающего показанное на рис. 19.5, а течение, была отмечена Ландау и Лифшицем [2], исследовавшими пересечение слабого разрыва со звуковой линией. Смотри также недавнюю заметку Жермена [6].