§ 13. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧАПЛЫГИНА

Приведенная выше теорема существования применима, в частности, к газу Чаплыгина, т. е. к уравнению минимальных поверхностей. Естественно предположить, что в этом случае однако доказательство этого еще не получено. Не считая этого вопроса, течение газа Чаплыгина вокруг препятствия может быть рассмотрено достаточно полно, что и было сделано Цянем [1], Берсом [1—4, 6, 11], Гельбартом [1], Гельбартом и Решем [1], Линем [1], Лере [4], Жерменом [ 1 ], Слезкиным [ 1 ], Христиановичем и Юрьевым [ 1 ] и другими.

Построение течений.

Предположим сначала, что течение вокруг профиля с потенциалом дано. Отобразим внешность профиля на область посредством преобразования которое является конформным относительно метрики этого течения.

Как мы уже отмечали (см. § 5 и 8), в этом случае искаженная скорость определенная формулой (5.3), а также комплексный потенциал являются аналитическими функциями от С. Так как на профиле а поведение 2 в бесконечности легко выясняется, то можно показать, что после подходящего поворота в плоскости С комплексный потенциал будет иметь вид

Другими словами, есть комплексный потенциал течения несжимаемой жидкости вокруг единичного круга. Легко видеть также, что есть циркуляция рассматриваемого течения газа Чаплыгина.

Аналитическая функция должна удовлетворять неравенству

как это сразу видно из (5.3). Если обе функции, известны, то с помощью (5.4) сразу может быть написано отображение плоскости С на физическую плоскость, а именно

Поскольку выполнено условие (13.2), якобиан отображения (13.3) положителен. Если функция (13.3) отображает область на внешность накоторой замкнутой кривой, то (13.3) совместно с равенством

образует представление Монжа — Вейерштрасса минимальной поверхности, описывающей течение газа Чаплыгина вокруг Этим способом мы можем получить неограниченное количество течений, выбирая функцию так, чтобы выполнялось (13.2) и чтобы функция (13.3) была однозначной. Необходимое и достаточное условие выполнимости последнего требования получается так: напишем

тогда коэффициент должен быть таким, чтобы

Это в сущности тот метод построения течений газа Чаплыгина, который был дан независимо Гельбартом, Линем и Жерменом.

Если то условие (13 5) дает В этом случае функция

уже является однозначной и в определенных случаях будет давать взаимно однозначное отображение области на внешность профиля Это уравнение совместно (13.4) дает параметрическое представление течения несжимаемой жидкости вокруг с комплексным потенциалом Теперь мы можем переписать (13.3) в виде

где интегрирование выполняется в плоскости течения несжигаемой жидкости. Принадлежащее Цяню простое уравнение 13.7) позволяет преобразовать всякое бесциркулярное течение вокруг в течение газа Чаплыгина вокруг некоторого другого профиля

Течение вокруг данного профиля.

Предположим теперь, что мы хотим найти течение газа Чаплыгина вокруг данного профиля Пусть

— функция, описывающая соответствие между точками на единичной окружности и профиле при отображении (13.3). Тогда есть длина дуги профиля, отсчитываемая в направлении против часовой стрелки, скажем, от критической точки. Обозначим через наклон профиля функцию длины дуги и предположим, что полная длина равна Тогда уравнение профиля может быть написано в виде

На окружности мы имеем и по (13.1)

Отсюда следует, что отображение (13.3) при должно удовлетворять соотношению

Дифференцируя это соотношение по получим уравнение

показывающее, что распределение скорости на профиле будет известно, как только мы будем знать постоянные и функцию Действительно, скорость связана с простым соотношением (5.3). С другой стороны, функция не может быть произвольной. Она является граничным значением некоторой функции, аналитической вне единичного круга, так что ее вещественная и мнимая части должны быть связаны определенным соотношением. Функция должна быть такова, чтобы полученные из (13.8) значения удовлетворяли этому условию. Отсюда после некоторых вычислений получается нелинейное сингулярное интегральное уравнение для функции

Для простоты мы выпишем это интегральное уравнение только для случая симметричного течения и гладкого профиля Оно имеет вид

где

а параметр X определяется по скорости в бесконечности:

Это интегральное уравнение имеет вид где оператор определен формулами (13.9). Естественно пытаться решить его методом последовательных приближений. 4 При выполнении вычислений на машине "Унивак“ (Велцин [1]) было обнаружено, однако, что сходимость имеет место только в том случае, если итерациям подвергается не

оператор а оператор Интересно, что этот факт не мог быть обнаружен при грубых вычислениях на настольной машине (Берс [2])-.

Аналогичное интегральное уравнение может быть выписано и для несимметричного течения. В этом случае вычисления, по-видимому, показывают, что сходимость будет иметь место только в том случае, если задается скорость в бесконечности и положение передней критической точки, но не (Берс [6]).

Отметим, что первоначально доказательство существования (Берс [4]) было основано на интегральном уравнении (13.9). Уравнение аналогичного типа было выведено Слезкиным [1].

В принципе проблема отыскания адиабатического течения вокруг симметричного профиля может быть рассмотрена аналогичным образом (Берс [3]). Однако в этом случае вместо интегрального уравнения получается более сложное функциональное уравнение. При решении этого уравнения методом последовательных приближений требуется решение некоторой линейной задачи Дирихле при каждой итерации.