Продолжение в комплексную область.

Теперь мы рассмотрим методы получения частных решений уравнений годографа, относящиеся к дозвуковой области и к случаю, когда связь плотности со скоростью задается вещественной аналитической функцией. В этом случае уравнения годографа имеют аналитические коэффициенты, откуда следует, что все дозвуковые решения сами являются вещественными

литическими функциями. Поэтому эти решения могут быть продолжены в комплексную область. Нам будет удобно рассматривать уравнения для потенциала и функции тока, записанные в виде уравнений (3.19) и (3.20).

Мы снова будем обозначать независимые переменные через х и у. Уравнения (3.19) и (3.20) имеют вид

где аналитическая функция от х и у. Будем рассматривать х и у как независимые комплексные переменные. Тогда мы можем в качестве новых независимых переменных ввести величины и считать функциями от Заметив, что

перепишем уравнение (6.12) в виде

Пусть теперь обозначает оператор, который преобразует аналитическую функцию определенную в окрестности точки в функцию

Другими словами, преобразует двойной степенной ряд в степенной ряд Пусть будет комплекснозначная гармоническая функция от х и у, определенная в окрестности начала координат; это означает, что где функции аналитические. Положим

Этот ряд будет сходиться в некоторой окрестности точки и непосредственно видно, что

Следовательно, оператор преобразует произвольную гармоническую функцию в некоторое решение (6.14). Конечно, это решение может быть комплекснозначным, но мы получим вещественное решение, просто взяв его вещественную или мнимую часть.