§ 14. ДОЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛЕ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ОТОБРАЖЕНИЯХ

Задача об отыскании дозвукового течения в данном канале является математически более простой по сравнению с задали отыскания течения вокруг профиля. Она вызывает интерес благодаря связанным с ней общим теоремам об отображениях.

Дозвуковое течение в канале.

Рассмотрим канал, ограниченный двумя кривыми и простирающимися от до и будем искать решение уравнения для потенциала (2.14), удовлетворяющее условию . Чтобы задача имела единственное решение, мы можем потребовать, чтобы

где есть заданная постоянная. Конечно, эта постоянная должна быть достаточно малой, так как, например, она может превосходить величины где наименьшее расстояние между точками кривых

Используя описанные в § 11 методы, можно, по-видимому, доказать существование такого значения что для эта задача имеет единственное дозвуковое решение. (Однако этим способом доказательство до сих пор еще не выполнено.)

Предварительно полезно рассмотреть задачу о течении в канале несжимаемой жидкости. Она эквивалентна задаче конформного отображения области ограниченной кривыми на прямолинейную полосу. Следовательно, существование решения следует из теоремы Римана о конформном отображении.