Набросок доказательств несуществования.

Доказательство этих результатов зависит от теорем единственности для уравнений смешанного типа, обсуждавшихся в § 18. Мы кратко наметим метод, используемый для доказательства утверждения 2. Пусть потенциал данного течения. Описанным в § 10 методом мы выводим уравнение для потенциала возмущений Оно имеет вид

где Решение должно удовлетворять граничным условиям (20.4) — (20.6). Теперь мы будем рассматривать о) как функцию от переменных годографа, относящихся к невозмущенному течению,

В новых переменных потенциал возмущений удовлетворяет уравнению

Посредством перехода к новой переменной

это уравнение может быть приведено к виду уравнения Чаплыгина

где Вид образа верхней половины течения в плоскости показан на рис. 20.3. Граничные условия

в новых переменных таковы: в точке, соответствующей бесконечности,

на и при

на где соответствует , причем тогда и только тогда, когда

Мы хотим показать, что уже однородные граничные условия (20.10) и (20.11), без условия (20.12), приводят к функции со, тождественно равной нулю. Отсюда следует в силу классической теоремы единственности для гиперболических уравнений, что потенциал возмущений равен нулю также и в треугольнике Следовательно, он может удовлетворять граничному условию (20.12) только при т. е. только в том случае, если профиль вообще не изменился.

Рис. 20.3.

В работе Моравец [2] эта теорема единственности доказывается методом Заметим, что здесь мы имеем дело с аналогом задачи Неймана. Детали доказательства являются весьма запутанными. Требуется дать точное описание поведения исходного решения и потенциала возмущений вблизи обеих критических точек и вблизи точки плоскости годографа, соответствующей бесконечности, причем это описание включает использование принципа подобия (см. § 9). В действительности доказанный в этой работе результат технически несколько слабее; он устанавливает лишь, что задача о возмущениях может иметь решение только для одной функции 8. В последующей статье [4] Моравец доказала теорему в вышеуказанном виде,

Данное в работе Моравец [4] доказательство утверждения 2 следует по аналогичному пути. В этом случае рассматривается не потенциал возмущений, а полная разность между данным потенциалом и предполагаемым потенциалом течения вокруг деформированного профиля. Эта разность снова удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению с частными производными смешанного типа, но коэффициенты при производных первого порядка в этом уравнении известны не полностью. Окончательный результат утверждает, что течение вокруг деформированного профиля невозможно, если только потребовать, чтобы оно было достаточно близким к исходному течению. Это условие достаточной близости является естественным, и оно включает поведение скоростей и ускорений. Подробности можно найти в оригинальной статье.

Для доказательства утверждения 4 мы предположим сначала, что вблизи критической дуги. Мы отрежем небольшую часть области, показанной на рис. 20.3, соответствующую где некоторое достаточно большое значение. Затем мы изменим связь плотности со скоростью для значений превосходящих Можно показать, что это изменение возможно сделать так, чтобы функция тока исходного течения продолжалась через линию и давала околозвуковое течение вокруг несколько измененного профиля. Решение задачи о возмущениях, вызванных изменением числа Маха, для этого нового профиля будет совпадать с уже известным решением в области как это следует из теоремы единственности § 18. Но простое вычисление показывает, что этот потенциал возмущений нельзя продолжить так, чтобы он удовлетворял также и граничному условию на измененном профиле.

Смысл поставленного выше дополнительного условия заключается в следующем. Изменение в распределении скоростей на профиле вблизи точки с максимальной скоростью, вызванное малым изменением числа Маха невозмущенного течения, имеет не меньший порядок величины, чем изменение числа Маха. Представляется неправдоподобным, чтобы это условие могло не удовлетворяться. Однако даже если оно не выполнено, некоторое усложнение рассуждения приводит к тому же самому результату.