Разложение по степеням числа Маха.

Замена точного уравнения (2.14) уравнением Лапласа может рассматриваться как первый шаг в процессе разложения, известном под названием метода Рэлея — Янцена; см. Рэлей [1], Янцен [1]. Этот метод основан на предположении, что решение некоторой задачи о течении, например потенциал обтекания тела, может быть представлено степенным рядом вида

где обозначает число Маха в характерной точке, обычно в бесконечности (число Маха невозмущенного течения). Если это разложение подставить в уравнение для потенциала (2.14), то получится ряд дифференциальных уравнений для членов частности, основной член удовлетворяет уравнению Лапласа и краевым условиям, а также условиям в бесконечности для течения вокруг тела. Остальные члены удовлетворяют неоднородным линейным уравнениям эллиптического типа и неоднородным краевым условиям на профиле и в бесконечности.

Существуют другие варианты этого метода. Например, Тейлор и Шерман [1] предложили итерационный процесс, в котором сначала плотность считается постоянной и решается соответствующая задача (для несжимаемой жидкости), затем полученное распределение скоростей используется для вычисления плотности по формуле (2.9), после чего новое распределение скоростей находится путем решения линейного эллиптического дифференциального уравнения

при тех же условиях на границе и в бесконечности, и т. д. Соответствующая линейная задача может быть решена с помощью электролитической ванны (см. § 8).

По методу Рэлея — Янцена имеется обширная литература (см. Элерс [1], Лайтхилл [5] и сделанные там ссылки), хотя лишь в немногих случаях вычисления были продвинуты дальше нескольких первых членов. Весьма важным в теоретическом отношении фактом явилось данное Келдышем и Франклем [1] доказательство того, что в случае течения вокруг препятствия метод Рэлея — Янцена сходится для достаточно малых значений числа Маха невозмущенного течения.

Вообще же точная область сходимости метода Рэлея — Янцена неизвестна. Большинство авторов предполагают, что в случае течения вокруг препятствия сходимость нарушается при где критическое число Маха есть такое значение при котором течение становится звуковым в некоторой точке (эта точка необходимо должна находиться на профиле). Лайтхилл считает, однако, что метод, вероятно, может сходиться и при ббльших значениях следовательно, давать поля течения частично со сверхзвуковыми

областями. Это было бьъвесъма странно, так как означало бы, что точное решение уравнения смешанного типа может быть получено решением последовательности эллиптических уравнений.