Газ Трикоми.
Очень полезная и широко используемая аппроксимация уравнений газовой динамики, впервые предложенная Франклем, получается путем замены функции
в (3.26) на
т. е. линейной функцией, аппроксимирующей
в звуковой точке
[см. уравнение (3.27)]. Уравнение годографа теперь принимает вид
и после тривиальной замены переменной
принимает форму так называемого уравнения Трикоми
которое является простейшим и наиболее хорошо известным уравнением смешанного типа. Потенциал скорости связан с
соотношениями
Связь плотности со скоростью и давления с плотностью, соответствующая этой аппроксимации, легко вычисляется. Этот "газ Трикоми ведет себя вполне аналогично реальному газу при скоростях, близких к скорости звука
Однако при малых, а также при очень больших скоростях он имеет совершенно другое поведение. Например,
никогда не превосходит значения 1,14 и стремится к единице, когда скорость становится бесконечной (Трикоми [2]). Следовательно, эта аппроксимация полезна только для чисел Маха, близких к единице.
Газ Трикоми можно использовать для оправдания вышеупомянутого закона околозвукового подобия. В этом нет ничего удивительного, так как мы видели, что лежандрово
преобразование введенного Карманом потенциала возмущений удовлетворяет уравнению Трикоми.
Отправляясь от нелинейных уравнений (3.32) с
мы предположим, что имеется какое-нибудь их решение, в котором а и 0 малы. Первое уравнение (3.32) показывает, что существует функция
такая, что
Эта функция удовлетворяет уравнению
т. е. уравнению Кармана. Следовательно, мы можем связать с рассматриваемым решением
этого уравнения целое семейство решений уравнений
зависящее от двух параметров
и определяемое формулой
Каждое из этих решений может быть преобразовано в решение уравнения для потенциала в газе Трикоми с отмеченным значением
посредством отображения в физическую плоскость с помощью уравнения (3.2). Это семейство течений будет приближенно удовлетворять закону подобия, причем приближение будет тем лучше, чем ближе а и 0 к значениям
. В действительности отображение
близко к тождественному для малых значений а и 0, причем уравнение (3.28) показывает, что а приближенно равно
так что
близка к потенциалу возмущений. Это качественное описание следовало бы оправдать количественным анализом, который мы не будем пытаться здесь делать.