Главная > Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Газ Трикоми.

Очень полезная и широко используемая аппроксимация уравнений газовой динамики, впервые предложенная Франклем, получается путем замены функции в (3.26) на т. е. линейной функцией, аппроксимирующей в звуковой точке [см. уравнение (3.27)]. Уравнение годографа теперь принимает вид

и после тривиальной замены переменной

принимает форму так называемого уравнения Трикоми

которое является простейшим и наиболее хорошо известным уравнением смешанного типа. Потенциал скорости связан с соотношениями

Связь плотности со скоростью и давления с плотностью, соответствующая этой аппроксимации, легко вычисляется. Этот "газ Трикоми ведет себя вполне аналогично реальному газу при скоростях, близких к скорости звука Однако при малых, а также при очень больших скоростях он имеет совершенно другое поведение. Например, никогда не превосходит значения 1,14 и стремится к единице, когда скорость становится бесконечной (Трикоми [2]). Следовательно, эта аппроксимация полезна только для чисел Маха, близких к единице.

Газ Трикоми можно использовать для оправдания вышеупомянутого закона околозвукового подобия. В этом нет ничего удивительного, так как мы видели, что лежандрово

преобразование введенного Карманом потенциала возмущений удовлетворяет уравнению Трикоми.

Отправляясь от нелинейных уравнений (3.32) с мы предположим, что имеется какое-нибудь их решение, в котором а и 0 малы. Первое уравнение (3.32) показывает, что существует функция такая, что

Эта функция удовлетворяет уравнению

т. е. уравнению Кармана. Следовательно, мы можем связать с рассматриваемым решением этого уравнения целое семейство решений уравнений

зависящее от двух параметров и определяемое формулой

Каждое из этих решений может быть преобразовано в решение уравнения для потенциала в газе Трикоми с отмеченным значением посредством отображения в физическую плоскость с помощью уравнения (3.2). Это семейство течений будет приближенно удовлетворять закону подобия, причем приближение будет тем лучше, чем ближе а и 0 к значениям . В действительности отображение близко к тождественному для малых значений а и 0, причем уравнение (3.28) показывает, что а приближенно равно так что близка к потенциалу возмущений. Это качественное описание следовало бы оправдать количественным анализом, который мы не будем пытаться здесь делать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление