Уравнения годографа.

Предположим теперь, что имеется течение, для которого якобиан не равен нулю в некоторой точке. Тогда отображение является топологическим (взаимно однозначным и взаимно непрерывным) в окрестности этой точки и все величины, описывающие течение, можно рассматривать как функции от переменных или Так как

то мы имеем

и

Этот криволинейный интеграл не должен зависеть от пути интегрирования. Простые вычисления показывают, что для того, чтобы это имело место, рассматриваемые как функции от должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений

Эта система линейна, так как являются функциями от Исключение посредством дифференцирования одной из неизвестных функций приводит к уравнениям второго порядка (уравнения Чаплыгина)

С учетом (2.8) уравнение (3.4) может быть также записано в форме

Заметим, что на плоскости годографа мы имеем единственное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция тока, и что это уравнение несколько проще, чем соответствующее уравнение для потенциала.

Независимые переменные х и у, рассматриваемые как функции от также удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям, а именно

Это можнопроверить либо непосредственно, написав уравнение (2.14) в форме системы

и поменяв ролями зависимые и независимые переменные, либо используя уравнения (3.2) и (3.3). В силу (3.6) существует функция такая, что

причем это "лежандрово преобразование" потенциала скорости удовлетворяет линейному уравнению

Потенциал скорости, функция тока и лежандрово преобразование потенциала скорости связаны соотношениями

Эти два способа линеаризации уравнений газовой динамики, конечно, эквивалентны. Вообще краевые условия делаются весьма сложными при переходе на плоскость годографа, причем это обстоятельство проявляется даже сильнее при использовании лежандрова преобразования. По этой причине линеаризация Чаплыгина является в большинстве случаев более предпочтительной.

Все полученные выше линейные уравнения, от (3.3) до (3.7), являются эллиптическими в дозвуковом круге параболическими на звуковой окружности и гиперболическими в сверхзвуковой области В этой последней области все уравнения имеют одни и те же фиксированные характеристики — образы линий

Маха в физической плоскости.

Рис. 3.1.

Эти характеристики даются уравнениями

Через каждую точку сверхзвуковой области проходят две характеристики, а в точках звуковой окружности эти характеристики образуют острие. В случае адиабатического течения, управляемого соотношениями (2.9) и (2.10), дифференциальное уравнение (3.9) может быть легко проинтегрировано; получаются эпициклоиды, а именно траектории точек окружности радиуса которая катится по звуковой окружности (рис. 3.1).