ГЛАВА V. Некоторые проблемы, относящиеся к околозвуковому течению

§ 19. МЕСТНЫЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ОБЛАСТИ

Будем называть течение газа околозвуковым, если в нем содержатся как области с местным числом Маха так и области с При изучении таких течений методам годографа следует помнить, что существуют сверхзвуковые течения (простые волны, называемые также течениями Прандтля — Мейера), имеющие вырожденный годограф. Для течения Прандтля — Мейера якобиан тождественно равен нулю. Образ этого течения на плоскости годографа состоит из одной характеристики, т. е. является некоторой дугой, удовлетворяющей уравнению (3.9). В физической плоскости одно из семейств линий Маха есть семейство прямых, вдоль которых скорость постоянна. Подробный анализ и описание простых волн можно найти, например, в книге Куранта и Фридрихса [1].

Звуковая линия.

Пусть звуковая линия в некотором околозвуковом течении, т. е. линия, вдоль которой и которая отделяет область, где от области, где Определим положительное направление на требованием, чтобы при движении вдоль § в этом направлении дозвуковая область оставалась слева. Если обозначает производную от 0 по длине дуги линии — наклон нормальную производную от скорости по направлению нормали, направленной в дозвуковую область, то (Никольский и Таганов [1])

Для проверки этого соотношения мы запишем уравнения движения, выбрав и 0 в качестве новых искомых функций. Получаются уравнения

В точке на I выбираем координатную систему так, чтобы направление оси х совпадало с положительным направлением на §. Тогда в точке имеем откуда и получается уравнение (19.1). Так как то из уравнения (19.1) следует, что 0 является невозрастающей функцией на Кроме того, только если либо либо вектор скорости ортогонален к звуковой линии. Точки, в которых будем называть исключительными. Было бы интересно знать, будут ли исключительные точки на звуковой линии всегда изолированными.

Продолжение через звуковую линию.

Если дано дозвуковое течение, определенное в некоторой области граница которой содержит звуковую линию причем все точки § являются неисключительными, то при некоторых предположениях гладкости это течение можно единственным образом продолжить через как сверхзвуковое течение без разрывов. Это течение будет определено в некоторой окрестности §, содержащейся между двумя линиями Маха (рис. 19.1). Это легко следует (см. Берс [7]) из разрешимости задачи Коши для уравнения вида (16.2). Если на имеется одна исключительная точка С, то течение будет однозначно определено только в области, содержащейся между четырьмя характеристиками: (рис. 19.2). Если это течение вообще может быть продолжено в область между двумя характеристиками и то это продолжение не будет единственным. Мы еще встретимся с примером этого явления при обсуждении околозвукового течения в канале (§ 21).

Сверхзвуковое включение.

В теории околозвуковых течений особый интерес представляют сверхзвуковые области, включенные в дозвуковые течения. Мы рассмотрим сначала

подобное "сверхзвуковое включение", ограниченное звуковой линией и некоторой линией тока, которая может мыслиться как граница некоторого препятствия. Все остальные линии тока, входящие в сверхзвуковую зону, покидают ее, пересекая звуковую линию. Линии тока топологически эквивалентны системе параллельных прямых. Через каждую точку сверхзвуковой области проходят две линии Маха. Каждая линия Маха, исходящая с границы, должна оканчиваться на звуковой линии, и обратно. Следовательно, линии Маха образуют регулярную криволинейную систему координат.

Рис. 19.1.

Рис. 19.2.

Впервые подобное включение было рассчитано Франклем [1]. Оно встречается в так называемом течении Ринглеба, которое обсуждалось в § 6, а также в точных решениях задачи о профиле, упоминаемых в § 20. Карман и Фабри [1] нашли простое решение уравнения (4.6), описывающее течение со сверхзвуковыми включениями около волнистой стенки.

Анализ течения в сверхзвуковом включении был дан Никольским и Тагановым [1]. Они доказали, что оно не может содержать какого-либо течения Прандтля — Мейера. Поэтому каждая линия Маха этого течения отображается на целую дугу характеристики в плоскости годографа, а не в одну точку.

Вдоль звуковой линии угол течения 0 строго убывает. В самом деле, если бы это было не так, то на существовал бы отрезок, вдоль которого угол был бы постоянным. Если взять какую-нибудь точку вблизи этого отрезка, то проходящие через эту точку характеристики пересекут звуковую линию в двух точках имеющих один и тот же образ на звуковой окружности в плоскости

годографа. Но это означало бы, что линии Маха и отображаются на одну и ту же характеристику в плоскости годографа, так как там всякая характеристика однозначно определяется двумя точками. По тем же причинам все точки «треугольника» отобразились бы на эту характеристику, так что мы имели бы в этом треугольнике простую волну.

Из монотонности 6 вдоль § следует, что исключительные точки, если они вообще имеются, являются изолированными. Другим гследствием является то, что вдоль каждой линии Маха угол течения 0 и скорость являются строго монотонными функциями.

Рис. 193.

Для того чтобы это показать, рассмотрим точки и линии Маха, приведенные на рис. 19.3, а. Заметив, что и что образы точек на плоскости годографа должны лежать на «звуковой окружности, мы заключаем, что на плоскости годографа рассматриваемые линии Маха отображаются в характеристики, показанные на рис. 19.3, б. Это означает, что

В качестве следствия мы получаем важное утверждение, что сверхзвуковое включение, ограниченное линией тока и звуковой линией, обладает однолистным годографом.

Рассмотрим теперь две точки на линии тока Проведем через каждую из этих точек две линии Маха и отметим их точки пересечения со звуковой линией, как это показано на рис. 19.4, а. Так как то образами этих линий Маха на плоскости годографа будут характеристики, показанные на рис. 19.4, б. Из этого рисунка мы сразу получаем соотношение Это

неравенство показывает, что граница сверхзвукового включения должна быть строго выпуклой. В частности, эта граница не может содержать прямолинейного отрезка.