Частные решения уравнения Трикоми.

Теперь остановимся на некоторых специальных свойствах уравнения Трикоми. Частные решения этого уравнения изучались многими авторами. Мы уже упоминали решения типа произведения (6,5), включающие бесселевы функции порядка 1/3, и полиномиальные решения, получаемые сигма-интегрированием Важный класс решений можно получить, используя координаты (16.9). Разделение переменных в уравнении (16.16) доставляет решения, однородные относительно Эти решения имеют вид

где обозначает общее решение соответствующего гипергеометрического уравнения. Мы отметим соотношения

При эти решения являются многочленами, а при -алгебраическими функциями (Ландау и Лифшиц [ 1 ]). В частности, удовлетворяет кубическому уравнению

Это решение встречается в теории околозвуковых течений через сопло (§ 21).

Гипергеометрическая функция имеет особенности в точках 0, 1, со. Первые две соответствуют осям у их, а третья — характеристикам (16.12). Соотношения (16.21) показывают, что рассматриваемые решения непрерывны при переходе через оси координат, в то время как их непрерывное аналитическое продолжение через характеристики возможно лишь в исключительных случаях.

При работе с решениями (16.20) оказываются полезными классические соотношения между гипергеометрическими функциями; удобную сводку можно найти у Жермена и Баде [3].

Фундаментальные решения уравнения Трикоми рассматривались многими авторами (Каррир и Элерс [1], Вейнстейн [2, 5] и другие). Наиболее полное исследование было дано Жерменом и Баде [3]. Они ввели семейство фундаментальных решений вида

Здесь вещественный параметр, —переменная точка, положение особенности. Впрочем, решение симметрично относительно точек Наиболее важным свойством фундаментального решения Жермена-Баде является то, что оно определено на всей плоскости. Если С находится в эллиптической полуплоскости, то решение регулярно во всей плоскости, кроме точки С, где оно имеет логарифмическую особенность. Если , то это решение имеет вид

где постоянная у имеет различные значения в областях Если С находится в гиперболической полуплоскости, то является аналитическим решением во всей плоскости, за исключением характеристик, проходящих через С, и отраженных характеристик (см. рис. 16.2). Вдоль этих кривых особенность складывается из логарифмической с одним и тем же коэффициентом на обеих сторонах и из разрыва первого рода.

Рис. 16.2

Пусть точка находится в гиперболической полуплоскости; обозначим через точки, в которых характеристики, проходящие через точку С, встречают ось Тогда

причем это представление справедливо при

В области гиперболической полуплоскости, прилежащей к проходящим через С характеристикам и содержащейся в области функция дается удвоенной правой частью формулы (16.25). Выражения для при других положениях точек получаются с помощью формул преобразования гипергеометрических функций и требования непрерывности. Аналогичные формулы имеют место для функции Нос, например, правая часть (16.25) представляет в части гиперболической полуплоскости, содержащейся в области и прилегающей к отраженным характеристикам.

Отметим, что правая часть (16.25), с точностью до постоянного множителя, есть функция Римана уравнения Трикоми и что функции

являются соответственно функцией Грина и функцией Неймана для эллиптической полуплоскости.

Жермен и Баде [4] (см. также Жермен [2]) построили также фундаментальные решения для общего уравнения (16.2). Основным средством для этого послужили преобразование Фурье и теория обобщенных функций Шварца.