Главная > Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Частные решения уравнения Трикоми.

Теперь остановимся на некоторых специальных свойствах уравнения Трикоми. Частные решения этого уравнения изучались многими авторами. Мы уже упоминали решения типа произведения (6,5), включающие бесселевы функции порядка 1/3, и полиномиальные решения, получаемые сигма-интегрированием Важный класс решений можно получить, используя координаты (16.9). Разделение переменных в уравнении (16.16) доставляет решения, однородные относительно Эти решения имеют вид

где обозначает общее решение соответствующего гипергеометрического уравнения. Мы отметим соотношения

При эти решения являются многочленами, а при -алгебраическими функциями (Ландау и Лифшиц [ 1 ]). В частности, удовлетворяет кубическому уравнению

Это решение встречается в теории околозвуковых течений через сопло (§ 21).

Гипергеометрическая функция имеет особенности в точках 0, 1, со. Первые две соответствуют осям у их, а третья — характеристикам (16.12). Соотношения (16.21) показывают, что рассматриваемые решения непрерывны при переходе через оси координат, в то время как их непрерывное аналитическое продолжение через характеристики возможно лишь в исключительных случаях.

При работе с решениями (16.20) оказываются полезными классические соотношения между гипергеометрическими функциями; удобную сводку можно найти у Жермена и Баде [3].

Фундаментальные решения уравнения Трикоми рассматривались многими авторами (Каррир и Элерс [1], Вейнстейн [2, 5] и другие). Наиболее полное исследование было дано Жерменом и Баде [3]. Они ввели семейство фундаментальных решений вида

Здесь вещественный параметр, —переменная точка, положение особенности. Впрочем, решение симметрично относительно точек Наиболее важным свойством фундаментального решения Жермена-Баде является то, что оно определено на всей плоскости. Если С находится в эллиптической полуплоскости, то решение регулярно во всей плоскости, кроме точки С, где оно имеет логарифмическую особенность. Если , то это решение имеет вид

где постоянная у имеет различные значения в областях Если С находится в гиперболической полуплоскости, то является аналитическим решением во всей плоскости, за исключением характеристик, проходящих через С, и отраженных характеристик (см. рис. 16.2). Вдоль этих кривых особенность складывается из логарифмической с одним и тем же коэффициентом на обеих сторонах и из разрыва первого рода.

Рис. 16.2

Пусть точка находится в гиперболической полуплоскости; обозначим через точки, в которых характеристики, проходящие через точку С, встречают ось Тогда

причем это представление справедливо при

В области гиперболической полуплоскости, прилежащей к проходящим через С характеристикам и содержащейся в области функция дается удвоенной правой частью формулы (16.25). Выражения для при других положениях точек получаются с помощью формул преобразования гипергеометрических функций и требования непрерывности. Аналогичные формулы имеют место для функции Нос, например, правая часть (16.25) представляет в части гиперболической полуплоскости, содержащейся в области и прилегающей к отраженным характеристикам.

Отметим, что правая часть (16.25), с точностью до постоянного множителя, есть функция Римана уравнения Трикоми и что функции

являются соответственно функцией Грина и функцией Неймана для эллиптической полуплоскости.

Жермен и Баде [4] (см. также Жермен [2]) построили также фундаментальные решения для общего уравнения (16.2). Основным средством для этого послужили преобразование Фурье и теория обобщенных функций Шварца.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление