Глава 1. Дифференциальные уравнения потенциального течения газа

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Мы кратко повторим вывод уравнения для потенциала течения сжимаемой жидкости. Более детальное описание можно найти во многих книгах (см., например, Курант и Фридрихе [1]).

Основные уравнения.

Течение совершенной жидкости описывается в так называемом эйлеровом представлении заданием плотности и компонентов скорости их, как функций декартовых координат и времени Полное описание требует также знания двух других термодинамических величин, скажем давления и температуры или давления и энтропии. Однако мы имеем дело с адиабатическим и изэнтропическим течением. В этом случае давление есть известная функция плотности. Для идеального газа

где — постоянная (отношение удельных теплоемкостей). Стандартное значение для воздуха равно 1,4. Нам будет удобно не ограничиваться этим соотношением между давлением и плотностью, а рассматривать также общий случай баротропной жидкости, т. е. жидкости, в которой

где некоторая достаточно гладкая возрастающая функция.

Компоненты скорости и плотность связаны уравнением неразрывности, выражающим закон сохранения массы,

С другой стороны, компоненты скорости должны удовлетворять эйлеровым уравнениям движения, являющимся выражением второго закона Ньютона. Если пренебречь массовыми силами, в частности тяжестью, то эти уравнения имеют вид

Заметим, что с помощью соотношения (2.2) давление может быть исключено из уравнений Эйлера. Уравнения движения и уравнение неразрывности удовлетворяют принципу относительности классической механики, т. е. они справедливы в любой инерциальной системе координат, если они справедливы в одной из таких систем.