§ 18. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА

Для доказательства существования решения краевых задач для эллиптических уравнений имеется в принципе четыре различных метода. Альтернирующий метод Шварца основывается на принципе максимума; метод Перрона и "выметание" Пуанкаре являются его вариантами. Метод интегральных уравнений основан на представлении решений посредством интегралов, содержащих сингулярные функции. Этот метод является наиболее трудоемким, но зато дает наиболее точные результаты. Метод, основанный на принципе Дирихле, был первоначально связан с вариационным исчислением. Позднее было осознано, что этот метод лучше излагать в терминах гильбертова пространства. Метод, использующий гильбертово пространство, является достаточно мощным и общим, но он обычно дает "обобщенные решения", и требуется дополнительное исследование для доказательства того, что эти обобщенные решения являются классическими. Четвертый метод

метод конечных разностей. Он заключается в замене дифференциального уравнения разностным, решении разностного уравнения и доказательстве того, что это решение сходится к искомому решению дифференциального уравнения, когда шаг сетки стремится к нулю.

Для уравнений смешанного типа практически все доказательства существования используют интегральные уравнения. Альтернирующий метод фигурирует лишь как вспомогательное орудие. Это не удивительно, так как для уравнений смешанного типа мы имеем относительно слабый принцип максимума (см. § 16). При использовании метода интегральных уравнений получается не прямое доказательство существования, а так называемое альтернативное. Оно утверждает, что решение существует, если считать известной теорему единственности.

Доказательство существования, данное Трикоми.

Первое доказательство существования было дано Трикоми для задачи и уравнения, носящих его имя, и для области, показанной на рис. 18.1. Трикоми расщепил задачу на две части. Сначала он рассмотрел задачу Дирихле в эллиптической части данной области, предполагая, что функция известна на отрезке Эта задача решается просто в случае, когда о есть нормальная кривая. Для области общего вида она решается с помощью альтернирующего процесса. При этом Трикоми должен был наложить дополнительное ограничение. Он предположил, что кривая содержит внутри себя нормальную кривую проходящую через точки и что С 0 оканчивается двумя дугами этой нормальной кривой. Решив эту задачу Дирихле, Трикоми получил интегральное соотношение, связывающее функцию с функцией

Рис. 18.1

По данным значениям искомого решения на одной из характеристик с помощью простой формулы (15.26) для решения задачи Коши Трикоми получил второе соотношение между Исключив из этих двух соотношений х и выполнив некоторые весьма сложные преобразования, он

пришел окончательно к сингулярному уравнению для Это уравнение в случае и данных на имеет вид

Входящий сюда интеграл понимается в смысле главного значения Коши, а есть некоторое "безвредное" ядро. Функция зависит только от граничных данных.

Последний шаг, решение этого сингулярного интегрального уравнения, представляет собой наиболее тонкую и оригинальную часть работы Трикоми. Он приводит к искомой альтернативе, так что теорема существования следует из уже установленной теоремы единственности. Решив уравнение (18.1), Трикоми стал одним из основателей теории сингулярных интегральных уравнений. Хорошо известно, что с тех пор эта теория сильно развилась и что в настоящее время применяются другие методы исследования таких уравнений. Информацию по сингулярным интегральным уравнениям и ссылки можно найти в статье Михлина [1] и монографии Мусхелишвили [1].

Другие доказательства существования.

Франкль [11] использовал тот же самый метод для исследования обобщенной задачи Трикоми, в которой данные несет нехарактеристическая кривая (рис. 18.2). Он сохранил условия Трикоми и потребовал, чтобы кривая была достаточно близкой к соответствующей характеристике. Кроме того, он потребовал, чтобы эта кривая начиналась как дуга характеристики, впрочем, сколь угодно малая.

Геллерстед [1, 2] исследовал задачу Трикоми для более общего уравнения (16.16). Это исследование в принципе такое же, как у Трикоми, только решаемая сначала эллиптическая задача является не задачей Дирихле, а задачей, в которой задаются значения функции на (50 и значения производной на отрезке линии параболичности. Для этой последней задачи Хольмгреном [1] была построена функция

Грина. В случае нормальной кривой эта функция дается некоторым простым выражением.

Проттер [4] показал, что метод Хольмгрена может быть распространен на уравнения вида

и на задачу Франкля. Этим путем он получил теорему существования для задачи Франкля в случае общего уравнения (16.2). В этой работе также требуется, чтобы эллиптическая граничная кривая оканчивалась двумя нормальными дугами и чтобы гиперболическая граничная кривая начиналась с характеристической дуги.

Рис. 18.2.

Рис. 18.3.

Использование фундаментальных решений.

Новый подход к задаче Трикоми в случае уравнения Трикоми был дан Жерменом и Баде [3, 5]. Они использовали свои фундаментальные решения (16.23) и решения, имеющие те же особенности, что и но равные нулю на нормальной кривой. Это позволило им дать новое и более простое исследование сингулярных эллиптических краевых задач, а также привело к прямому методу решения задачи Трикоми в случае, когда эллиптическая граничная кривая есть нормальная кривая. Для такой области (рис. 18.3) задача Трикоми решается просто выводом и решением некоторого сингулярного интегрального уравнения, которому удовлетворяют значения искомой функции вдоль характеристики, не несущей граничных условий.

Решение задачи Трикоми для общей области получается альтернирующим процессом, основанным на принципе

максимума для уравнения Трикоми (§ 16) Этот путь позволяет избежать дополнительного условия на (30.

Следует отметить, что Жерменом и Баде получено в гиперболической полуплоскости "обобщенное" решение. То, что это решение в действительности является классическим, было показано впоследствии Вейнбергером [1].

Другой метод, также основанный на интегральных уравнениях, был использован Агмоном. До сих пор в печати появилось только его краткое сообщение [1]. Агмон начинает с новой трактовки уравнения Трикоми и задачи Трикоми. Это трактовка в духе теории потенциала, представляющая искомое решение как суперпозицию фундаментальных решений Жермена и Баде. В качестве первой исследуемой стандартной области Агмон берет либо область рис. 18.3, либо область Трикоми, в которой эллиптическая часть есть вся эллиптическая полуплоскость. В исследовании Агмона дополнительное условие не появляется и метод применим не только к задаче Трикоми, но также и в том случае, когда на эллиптической части границы задается конормальная производная. Этот метод применим также и к задаче Франкля все еще при условии, что кривая начинается с характеристической дуги.

Важная особенность работы Агмона состоит в том, что она устанавливает требуемую альтернативу также для общего уравнения (16.3). При исследовании этого уравнения Агмон следует классическому методу. Пусть мы можем решить требуемую краевую задачу для уравнения Трикоми, а также для неоднородного уравнения Трикоми, причем переход от однородного к неоднородному уравнению не представляет затруднений. Агмон трактует уравнение (16.3) как неоднородное уравнение Трикоми

правая часть которого зависит от искомого решения. При такой постановке вопроса в случае эллиптических краевых задач получается некоторое интегральное уравнение. В рассматриваемом случае этот простейший подход оказывается неудобным. Хотя Жермен и Баде (Жермен и Баде [5], Жермен [5]) построили функцию Грина для задачи Трикоми, тем не менее эта функция имеет сложные особенности и не допускает простого представления. Но Агмон рассматривает

"абстрактное" функциональное уравнение, получающееся в результате истолкования (16.3) как неоднородного уравнения Трикоми и показывает, что теория Рисса функциональных уравнений в этом случае применима. Ему удалось это сделать благодаря тому, что его трактовка уравнения Трикоми приводит к более точным оценкам для решений в терминах заданных граничных данных.

Едва ли есть необходимость отмечать, что в этой области есть еще много открытых вопросов. В частности, пока остается лишь желательным доказательство существования для задачи Франкля, свободное от неестественного предположения о кривой Для относительно простого уравнения (16.15) имеется более законченная теория (Бицадзе [2]). Основным используемым здесь орудием снова является теория интегральных уравнений. В неизвестной автору недавней работе Бабенко [1], по-видимому, содержится новое доказательство существования для задач типа Трикоми.