Решения с особенностями.

Оператор можно также использовать для получения так называемого фундаментального решения (6.14). Положим

Эта функция А является решением (6.14) и имеет разложение Следовательно, функция

является регулярной аналитической при Теперь положим

и

Эта функция имеет вещественные значения для сопряженных т. е. для вещественных и имеет логарифмическую особенность в начале координат и является решением уравнения (6.14). Следовательно, она является фундаментальным решением этого уравнения.

В предыдущем построении мы могли бы интегрировать от переменной точки вместо начала координат, что дало бы фундаментальное решение (6.14) с особенностью в аналитически зависящее от Дифференцируя это решение по или получим решение уравнения (6.14), имеющее полюс первого порядка в повторное дифференцирование приводит к особенностям высших порядков.

Этот метод получения фундаментального решения является классическим и восходит к Гильберту. Он был использован Бергманом [4] для получения особенностей в решениях уравнения годографа, соответствующих бесконечно удаленной точке в случае обтекания тела, Для этого описанный метод

применяется к уравнениям (3.19) и (3.20). Получив фундаментальное решение одного из этих уравнений, вычисляют решение другого с помощью (3.18) и (3.3). Это решение, сопряженное к фундаментальному, является многозначным и ведет себя как арктангенс.

Этот же метод доставляет многозначные решения с логарифмическими и более высокими особенностями. Действительно, рассмотрим уравнение

где целое положительное число. Если есть какое-нибудь решение этого уравнения, скажем фундаментальное решение, то

будет многозначным решением уравнения (6.14). Это замечание (см. Ладфорд [1]) важно ввиду того, что годограф обтекания тела может быть многолистным.