Течение Гельмгольца около криволинейного препятствия.

Намного труднее краевые задачи со свободными границами, в которых твердые стенки не прямолинейны, так как в этом случае образ области течения на плоскости годографа неизвестен. Здесь уже нельзя ожидать простых решений, а оценки теоремы существования все еще только желательны.

Рис. 153.

Для течений несжимаемой жидкости эти задачи рассматривались многими авторами, причем именно в связи с этими задачами исследовались некоторые методы непрерывного продолжения, обсуждавшиеся в § 7 (Лере [1, 2]). Обзор этих точек зрения и ссылки можно найти в статье Вейнстейна [3]. Недавно были получены новые важные результаты. См. Серрин [1-3], Биркгоф и Царантонелло [1] и Царантонелло [1].

Берг [1] доказал теорему существования для дозвукового течения типа Гельмгольца около некоторой кривой Общий вид течения и его годограф показаны на рис. 15.3, а, б. Для решения соответствующей задачи в несжимаемой жидкости обычно, следуя Леви-Чивита, отображают конформно область течения на полукруг вспомогательной плоскости С и

рассматривают комплексный потенциал и скорость как аналитические функции от С Задача может быть сведена к определению функции описывающей отображение данной граничной кривой на полуокружность Таким образом, эта процедура аналогична описанной в § 14 и является на самом деле образцом обычного исследования краевых задач со свободными границами.

В случае газа Берг использует отображение области течения на полукруг, являющееся конформным по отношению к метрике течения. На плоскости С искаженная скорость является аналитической функцией, а функция псевдоаналитической; она удовлетворяет дифференциальному уравнению вида (9.8), где а и суть известные функции от Получающееся интегральное уравнение содержит не только функцию соответствия границ а еще и другую вспомогательную функцию от двух переменных. Существование решения доказывается методом Лере — Шаудера, причем требуемые априорные оценки выводятся, так же как и в случае течения вокруг профиля, с помощью теории квазиконформных отображений. Характерное для метода Лере — Шаудера непрерывное преобразование «трудной» задачи в "легкую" сопровождается непрерывным распрямлением профиля и сведением максимума локальной скорости к нулю.

В работе Берга [1] для симметричного препятствия удовлетворяющего определенным условиям гладкости, доказано существование течения Гельмгольца с данным дозвуковым максимумом локальной скорости. Впоследствии Берг обобщил этот результат на несимметричные препятствия и получил некоторую асимптотическую формулу для следа, а также теорему единственности (не опубликовано).

Для газа Чаплыгина исследование задач со свободными границами значительно легче и весьма близко к теории течений несжимаемой жидкости (см. Жакоб [1, 2]).