Сигма-интегрирование.

Так как уравнения годографа не содержат явно переменной , то производная по 0 от решения есть снова решение. Обращение этого способа вывода одного решения из другого приводит к новому методу получения частных решений, который является естественным обобщением процесса интегрирования функций комплексной переменной.

Мы будем работать с уравнениями первого порядка. Для удобства будем писать х и у вместо Уравнения Чаплыгина (3.3) имеют вид

Они выражают тот факт, что криволинейные интегралы

не зависят от пути интегрирования. Сразу видно, что пара снова есть решение (6.7) и что

Мы называем сигма-интегралом от Так как и всегда являются решениями (6.7), то, повторяя сигма-интегрирование этих функций, получим ряд частных решений посредством квадратур. Заметим, что если так что (6.7) есть система Коши — Римана, то эти решения будут степенями

Только что описанные решения называются формальными степенями. Более определенно, положим и обозначим через решение системы (6.7), полученное путем -кратного сигма-интегрирования решения от фиксированной точки до переменной точки z и умножения на Простые вычисления

показывают, что эти формальные степени могут быть записаны в виде

Если система (6.7) эллиптическая или гиперболическая то сигма-интегрирование всегда выполнимо. Если же система меняет тип, так что коэффициенты обращаются в нуль при определенных значениях у, то некоторые из интегралов могут перестать существовать. Например, для системы

приводящей к уравнению Трикоми, формальные степени существуют. Их мнимые части дают систему частных решений уравнения Трикоми, являющихся обычными многочленами от х и у. Но формальные степени для этой системы не существуют.

Процесс сигма-интегрирования был впервые использован Бельтрами 11, 2] для уравнений осесимметричного течения несжимаемой жидкости, т. е. в случае Он был рассмотрен во всей общности Берсом и Гельбартом [1, 2]; другим путем формальные степени были получены Бергманом [1]; см. также Крокко [1].

Маркушевич (см. Петровский [2] и Лукомская [1, 2]) заметил, что формализм сигма-интегрирования может быть распространен на широкий класс дифференциальных уравнений с частными производными. Неформальные стороны этого процесса и его действительное значение стали видны недавно в теории псевдоаналитических функций, которую мы обсудим позднее. Здесь мы упомянем только о том, что в случае

эллиптической системы (6.7), например для уравнений газовой динамики в дозвуковой области, формальный степенной ряд

представляет наиболее общее решение системы (6.7), определенное в окрестности точки (Берс [5]).