§ 10. ЗАМЕЧАНИЯ О КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Уравнение для потенциала течения газа имеет вид

где

В этом параграфе мы сделаем несколько замечаний, касающихся общей теории таких квазилинейных уравнений.

Законы сохранения.

Сначала заметим, что уравнение вида (10.1) часто может быть получено из вариационной задачи, заключающейся в минимизации интеграла

Действительно, уравнение Эйлера-Лагранжа для этой вариационной задачи имеет вид

и, следовательно, совпадает с (10.1) при

В частности, уравнение для потенциала (2.14) получается из вариационной задачи (10.2), если функция определена формулой

Точно так же и уравнение, которому удовлетворяет функция тока дозвукового течения, может рассматриваться как уравнение Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи. В самом деле, это уравнение для функции тока имеет вид а в дозвуковой области есть известная функция от

Стоит отметить (Берс [12]), что любое квазилинейное эллиптическое уравнение (10.1) может быть записано в виде "закона сохранения"

с надлежаще выбранными функциями

То обстоятельство, что уравнения газовой динамики имеют характер закона сохранения, послужило отправным пунктом в теории Лёвнера [3] законов сохранения. В этой теории Лёвнер вводит некоторый класс отображений, которые, как и квазиконформные отображения, характеризуются

дифференциальными и разностными неравенствами второго порядка. К сожалению, здесь невозможно дать изложение этой очень интересной работы. Поэтому мы ограничимся тем, что отошлем читателя к оригинальной статье. Некоторые поразительные неравенства для дозвуковых течений, следующие из теории Лёвнера, будут обсуждаться позже.

Уравнения в вариациях.

Так как уравнение нелинейно, то разность двух его решений уже не будет решением этого уравнения. Однако она будет решением вполне определенного линейного дифференциального уравнения, а именно уравнения

где

и аналогично определяется Отметим, что обычный вывод этого уравнения предполагает определенную гладкость коэффициентов Уравнение (10.4) для разности имеет тот же самый тип, что и уравнение (10.1) для "первого" решения

Большинство доказательств единственности решения краевых задач для квазилинейных уравнений основано на этом простом замечании. Например, если для первого решения уравнение (10.1) эллиптично, то разность будет удовлетворять принципу максимума. Отсюда следует, что задача Дирихле для квазилинейного уравнения (10.1) может иметь не более одного эллиптического решения.

Часто бывает полезно рассматривать разность двух «бесконечно близких» решений. В этом случае приближенно удовлетворяет линейному уравнению

которое называется уравнением в вариациях, ассоциированным с решением уравнения (10.1). Точный смысл уравнения в вариациях состоит в следующем. Предположим, что мы можем включить данное решение в некоторое семейство решений уравнения (10.1), зависящее от параметра так, чтобы была дифференцируемой функцией трех своих аргументов и чтобы В этом случае, как это немедленно проверяется, удовлетворяет уравнению в вариациях.

Если является решением некоторой краевой задачи и если уравнение в вариациях при соответствующих однородных краевых условиях имеет решением только то говорят, что является инфинитезимально единственным решением этой краевой задачи.

Теперь мы кратко опишем различные методы доказательства теорем существования решений краевых задач для квазилинейных уравнений. На практике эти методы применимы только в эллиптическом случае.