Слабые разрывы и скачки уплотнения.

Несколько слов следует сказать относительно возможных разрывов решения. В дозвуковой области потенциал течения сжимаемой жидкости, удовлетворяющий уравнению (2.14), будет настолько гладким, насколько это позволяет само уравнение. Это, конечно, есть следствие общего свойства решений эллиптических уравнений (см. § 7). В частности, если связь плотности со скоростью является аналитической, то и потенциал будет аналитической функцией. Если эта связь такова, что функция входящая в (2.14), имеет определенное количество непрерывных производных по своему аргументу, то и любое

решение будет непрерывно дифференцируемо определенное число раз. Следовательно, мы не утратим общности, если начиная с этого места будем предполагать, что потенциал дозвукового течения является по меньшей мере дважды непрерывно дифференцируемым.

Иное положение имеет место в сверхзвуковом течении, управляемом гиперболическим уравнением. Известно, что решение квазилинейного гиперболического уравнения может иметь разрывы производных второго порядка. Эти разрывы, однако, могут происходить лишь на определенных линиях, называемых характеристиками, которые определяются уравнением и его решением.

В случае течения сжимаемой жидкости эти слабые разрывы являются разрывами производных от компонентов скорости. Характеристики, называемые здесь линиями Маха, находятся как решения обыкновенного дифференциального уравнения

Поэтому характеристики зависят от рассматриваемого течения.

Рассматривая точки, в которых сразу видим, что через каждую точку сверхзвуковой области проходят две линии Маха и что линии Маха пересекают линии тока под углом

В точке на звуковой линии угол Маха а равен в такой точке обе характеристики касаются друг друга.

Необходимо рассмотреть также другой род разрыва. Основные уравнения (2.4) были получены в результате пренебрежения вязкостью жидкости. В ряде задач такое пренебрежение неудовлетворительно, что находит свое отражение в факте несуществования непрерывного решения. В течении реальной жидкости могут существовать узкие области, в которых благодаря эффекту вязкости имеет место очень быстрое изменение скорости и плотности, сопровождаемое диссипацией энергии. В теории идеального газа такая область представляется поверхностью, в случае двумерного течения — линией, при переходе через которую вектор скорости, плотность и давление испытывают скачок. Эти скачки не произвольны;

они управляются определенными соотношениями (условиями на скачке), которые выводятся из механических и термодинамических соображений. В установившемся течении скачки происходят только при сверхзвуковых скоростях, хотя течение после перехода через разрыв может стать и дозвуковым. Вообще говоря, после перехода через разрыв течение уже не будет ни изэнтропическим, ни потенциальным. Однако для так называемых слабых скачков изменением энтропии и получающимся отклонением течения от безвихревого можно пренебречь. На самом деле условия на скачке показывают, что изменение энтропии имеет третий порядок малости по сравнению с интенсивностью разрыва, если эта интенсивность измеряется, например, величиной скачка плотности.

Для слабых скачков имеются только три условия скачка. Первое требует непрерывности тангенциальной составляющей скорости при пересечении линии скачка. Второе, вытекающее из закона сохранения массы, требует непрерывности произведения плотности на нормальную составляющую скорости (число Фано). Заметим, что эти условия могут быть выполнены в отсутствие непрерывности компонентов скорости в силу того, что скорость является двузначной функцией потока массы Третье условие, являющееся следствием из второго закона термодинамики, требует возрастания плотности при переходе через скачок. В частности, после перехода через линию скачка сверхзвуковое течение может стать дозвуковым, но не наоборот. В то время как условия скачка выводятся для жидкости, обладающей определенными термодинамическими свойствами, вышеупомянутые условия для слабого скачка являются чисто кинематическими и могут быть использованы в любом баротропном течении.

Мы будем интересоваться главным образом течением без скачков, в частности условиями, при которых течение без скачков оказывается невозможным.