Прямой метод вариационного исчисления.

Если уравнение возникло из вариационного принципа, то теоремы существования иногда могут быть доказаны при помощи так называемого прямого метода вариационного исчисления. Пусть А обозначает некоторый класс функций, удовлетворяющих требуемым краевым условиям. Для решения уравнения пытаются найти среди всех таких функций ту, которая минимизирует интеграл (10.2).

Таким образом, имеются в сущности две задачи: доказательство существования минимизирующей функции и доказательство того, что эта минимизирующая функция обладает достаточной гладкостью для того, чтобы ее можно было считать решением уравнения Эйлера-Лагранжа (10.1). При решении первой задачи класс А должен быть достаточно широк. Например, если в минимизируемом интеграле не встречаются производные второго порядка, то не следует ограничивать класс А дважды дифференцируемыми функциями. Если А содержит достаточно много функций, то существование минимизирующей функции часто может быть доказано для строго регулярной вариационной задачи (т. е. для равномерно эллиптического уравнения Эйлера-Лагранжа) и при определенных дополнительных предположениях также для

регулярной вариационной задачи (т. е. для эллиптического уравнения Эйлера-Лагранжа). Методы установления регулярности минимизирующей функции, т. е. того факта, что минимизирующая функция является решением дифференциального уравнения, были даны различными авторами. Превосходный обзор всей этой области можно найти в статье Сигалова [1]; см. также основные статьи Морри [2], Шиффмана [1] и Ниренберга [1].