ГЛАВА IV. Математичесние основы околозвуковой газодинамики

§ 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ СМЕШАННОГО ТИПА

Околозвуковые течения газа управляются дифференциальными уравнениями с частными производными смешанного типа. В этом и следующем параграфах мы опишем некоторые особенности теории таких уравнений.

Уравнения типа Трикоми.

Начало этой теории было положено в известном мемуаре Трикоми [1]. Трикоми рассматривал уравнение

являющееся гиперболическим при и эллиптическим при Это уравнение является прототипом уравнений смешанного типа, встречающихся в газовой динамике и имеющих вид

где есть монотонная функция, такая, что

Трикоми показал также, что при соответствующих предположениях о гладкости коэффициентов любое линейное уравнение с частными производными второго порядка

дискриминант которого меняет знак при переходе через некоторую кривую, путем введения новых независимых переменных может быть приведено к определенному каноническому виду, а именно

Уравнение типа Чаплыгина (16.2) может быть приведено к каноническому виду путем введения следующих новых независимых переменных

где

В результате этой замены переменных получается уравнение

Иногда бывает выгодно ввести новую искомую функцию (тудовлетворяющую уравнению вида

Замена переменных.

Уравнение Трикоми, как и всякое уравнение вида (16.3), может быть приведено к каноническому виду в эллиптической полуплоскости Простейшим подходящим для этой цели преобразованием будет

Это преобразование переводит уравнение Трикоми в уравнение

являющееся частным случаем уравнения вида

изученного Вейнстейном в его общей теории осесимметричного потенциала (см. работу Вейнстейна [4] и данные там ссылки). Для целого уравнение (16.8) определяет осесимметричную потенциальную функцию в «-мерном пространстве; на образном языке Вейнстейна уравнение (16.1а) определяет осесимметричную гармоническую функцию в пространстве размерности 7/3. Эта аналогия оказалась плодотворным источником для получения интересных частных

решений и соотношений между различными решениями (Вейн-стейн [1, 3—5]).

На плоскости полезно ввести новые координаты

полагая

или, несколько общее,

(причем в гиперболической полуплоскости может сделаться мнимым). Кривые

являющиеся полуокружностями на плоскости называются нормальными кривыми и играют важную роль в исследованиях Трикоми. В переменных уравнение Трикоми принимает вид

Характеристики уравнения (16.2) определяются из соотношения

Характеристики уравнений (16.1) и (16.3) записываются в виде

Введением в гиперболической полуплоскости характеристических координат

уравнение (16.3) приводится к каноническому виду. В частности, уравнение Трикоми принимает вид

Это уравнение подробно изучалось Дарбу [1].

Простейшее уравнение смешанного типа.

Упрощенная модель уравнения Чаплыгина (16.2) может быть получена в предположении, что есть кусочно постоянная функция, т. е.

В этом случае решение будет иметь разрыв вторых производных при переходе через линии однако требуется непрерывность первых производных. Такие уравнения встречаются в аппроксимации Порицкого (см. § 5). Простейшая из таких моделей получается, если положить

Соответствующее уравнение

было изучено Лаврентьевым и Бицадзе [1] (см. Бицадзе [1, 2], Лаврентьев к Бицадзе [1], а также Франкль [12]).

Другие уравнения.

Существуют дифференциальные уравнения с частными производными смешанного типа, имеющие совсем другую природу, например уравнение

изученное Геллерстедом [1, 2] при Березиным [1] и другими в общем случае. Другим уравнением смешанного типа является

Читатель заметит, что характеристики этого уравнения ведут себя совсем иначе вблизи линии параболичности. Для газовой динамики наибольший интерес представляет уравнение вида (16.2). По этой причине в дальнейшем обсуждении мы ограничимся этим уравнением и не остановимся, например, на важной работе Чибрарио.

Чисто эллиптические и чисто гиперболические задачи.

Прежде чем рассматривать задачи для уравнений смешанного типа с краевыми и начальными условиями, включающими переход через линию параболичности, мы должны сказать

несколько слов о чисто эллиптических и чисто гиперболических краевых задачах. Известно (Берс [10], Жермен и Баде [1, 2]) и легко проверяется, что задача Дирихле и другие типичные эллиптические краевые задачи являются корректно поставленными для уравнения (16.2), даже если часть границы рассматриваемой области является отрезком параболической линии

Задача Коши для уравнения (16.2) с данными на отрезке параболической линии

поставлена корректно (Берс [7]). Решение существует в характеристическом треугольнике показанном на рис. 16.1, и удовлетворяет там неравенству

Интересно отметить, что это неравенство не содержит явно функции К.

Этот простой результат, ничего не предполагающий о функции К, справедлив благодаря отсутствию в рассматриваемом уравнении членов более низкого порядка. Для уравнения (16.16) теория задачи Коши сложнее. Она была развита с большой общностью Франклем [2], Березиным [1], Проттером [3] и Хельвигом [1].

Рис. 16.1.

Проттер [1, 5] доказал также корректность постановки другой задачи гиперболического типа для уравнения (16.2). Так, решение в характеристическом треугольнике определено, если заданы произвольно его значения вдоль одной из характеристик и отрезка или вдоль отрезка линии параболичности и нехарактеристической линии Эти результаты, так же как и оценка (16.18), получены с помощью аппроксимации функции К кусочно постоянной функцией.

Принцип максимума.

В этой же связи мы упомянем об интересном принципе максимума (Агмон, Ниренберг и Проттер [1]). Предположим, что некоторое решение (16.2) определено в характеристическом треугольнике и обращается в нуль вдоль одной из характеристик (или является на этой

характеристике неубывающей функцией от Допустим, далее, что в этом характеристическом треугольнике выполняется неравенство

Тогда максимум достигается на отрезке линии параболичности, а нормальная производная положительна в той точке, где этот максимум достигается.

Заметим, что для уравнения Трикоми, для которого этот принцип максимума был впервые открыт Жерменом и Баде [2, 5], условие (16.19) всегда выполнено. Это верно также и для уравнения Геллерстеда (16.16).

Жермен [4] исследовал смысл неравенства (16.19). Он показал, что это неравенство, равно как и принцип максимума, имеет применения в теории простых волн, а также в чисто математической теории положительно определенных функций.