Околозвуковое приближение.

Методы линеаризации по необходимости непригодны в околозвуковом диапазоне, т. е. для скоростей, близких к скорости звука. Переход через скорость звука, математически выражающийся в изменении типа уравнения для потенциала, является строго нелинейным явлением. Например, уравнение Прандтля — Глауэрта (4.4) принимает бессмысленный вид если положить

Приближенное уравнение, сохраняющее характерные особенности околозвукового течения, было предложено Карманом [2]. Оно относится также к почти горизонтальному течению и основано на замечании, что простые решения, описывающие такие почти звуковые течения, дают более значительные возмущения в направлении оси х, нежели в направлении оси у.

Напишем потенциал течения в виде

где производные от предполагаются малыми по сравнению с Тогда имеем

и приближенно [см. уравнение (2.8)]

Следовательно, уравнение для потенциала (2.14) может быть записано в виде

Предположение (оправданное Карманом с помощью правдоподобных соображений), что член имеет значительно

меньшую величину, чем остальные два, приводит к приближенному околозвуковому уравнению

Это уравнение имеет эллиптический или гиперболический тип в зависимости от того, будет ли производная отрицательна или положительна. Оно нелинейно, но может быть линеаризировано путем преобразования Лежандра. Положим Тогда

и, меняя ролями зависимые и независимые переменные, получаем

Лежандрово преобразование потенциала определяемое уравнениями

удовлетворяет уравнению

т. е. в сущности классическому уравнению Трикоми(см. § 16). Заметим, что этому же уравнению удовлетворяет

Предположим теперь, что мы имеем какое-нибудь решение уравнения (4.6), описывающее околозвуковое течение, например течение около стенки или симметричное обтекание профиля. Пусть 0 обозначает характерный угол наклона препятствия, так что

в некоторой точке границы, скажем при Пусть будет числом Маха невозмущенного течения, так что

Рассмотрим функцию

где некоторая постоянная, положительное число. Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

Следовательно, ее можно рассматривать как функцию, описывающую околозвуковое течение газа с показателем адиабаты у. Для этого течения характерный угол наклона 0 и число Маха невозмущенного течения даются формулами

Таким образом, мы имеем

Это есть так называемый закон подобия для околозвуковых течений (см. также Гудерлей [3], Каплан [6], Осватич [1], Спрейтер [1-3]).

Для строгого доказательства справедливости уравнения Кармана и вытекающего из него закона подобия следовало бы построить процесс разложения, первый член которого удовлетворял бы уравнению (4.6), а также проверить сходимость или асимптотический характер этого разложения. Эта задача была впервые рассмотрена Колом и Месситером [1]; остальные попытки, насколько известно автору, оказались недостаточными. В § 5 мы упомянем о другом способе оправдания закона подобия (см. также Фалькович [3]).

Перечисленные выше три метода получения приближенных уравнений могут быть использованы также для трехмерных течений, в частности для осесимметричных течений. В последнем случае следует позаботиться об установлении правильных краевых условий. Достаточно полное описание и многочисленные ссылки можно найти у Лайтхилла [5], Сирса [2], Уорда [1], Хизлета и Ломакса [1]. См. также Лайтхилл [6], Уорд [2]; последний обзор различных приближенных методов см. у Имаи [3]