Макеты страниц
§ 15. ДОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИМетод годографа для дозвуковых течений газа был развит Чаплыгиным с целью исследования задач, содержащих свободные границы, так как эти задачи естественно связаны с годографом. Если область течения ограничена прямолинейными твердыми стенками и свободными границами, то ее образ на плоскости годографа имеет простую форму. Он ограничен дугами окружностей, являющимися образами свободных границ, вдоль которых скорость постоянна, а также отрезками радиусов, образов прямолинейных стенок, вдоль которых постоянен угол наклона вектора скорости. Метод Чаплыгина.Эти задачи были рассмотрены Чаплыгиным в его знаменитом мемуаре [1]. В частности, Чаплыгин решил две классические граничные задачи: об истечении струи через щель в прямолинейной стенке и о следе за прямолинейным сегментом. В первой задаче область течения ограничена двумя твердыми стенками, которые мы предположим простирающимися вдоль оси у и двумя симметрично расположенными свободными границами, простирающимися до бесконечности (см. рис. 15.1, а) Скорость равна нулю в бесконечности вверх по течению, имеет некоторое постоянное дозвуковое значение
Рис. 15.1. Другими словами, нам нужно найти решение уравнений Чаплыгина (3.3), отображающее область рис. 15.1, б на область рис. 15.1, в с отмеченным соответствием граничных точек Существование такого отображения есть, конечно, следствие теорем об отображениях, обсуждавшихся в предыдущем параграфе. Однако более удобно, следуя Чаплыгину и имея в виду получение искомой отображающей функции в простой форме, начать с рассмотрения соответствующей конформно отображающей функции, т. е. с решения той же самой задачи со свободными границами для несжимаемой жидкости. Решение последней дается рядом
что хорошо известно и легко проверяется. Метод Чаплыгина получения решения для течения сжимаемой жидкости заключается в замене частных решений уравнения Лапласа "соответствующими" частными решениями уравнений годографа (см. § 6). Точнее, Чаплыгин полагает
где есть требуемое (дозвуковое) значение
Рис. 15.2. Этот метод применим всегда, когда решение краевой задачи со свободными границами для течения несжимаемой жидкости может быть представлено рядом вида
В частности, он применим к задаче о следе за прямолинейным сегментом. Обсуждавшийся в § 13 экстремальный профиль также дает некоторое решение задачи со свободными границами. Течение ограничено двумя вертикальными сегментами, соединенными двумя свободными границами (см. рис. 15.2, а). Годограф верхней половины течения показан на рис. 15.2, б. Соответствующая задача для несжимаемой жидкости была решена Рябушинским [1]. Гилбаргу и Шиффману (см. § 13) потребовалось решение для газа при дополнительном требовании, чтобы постоянное значение скорости на свободных линиях тока было равно Другой способ решения задач о течениях газа, ограниченных свободными границами и прямолинейными стенками, принадлежит Бергману [4, 5].
|
1 |
Оглавление
|