§ 15. ДОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Метод годографа для дозвуковых течений газа был развит Чаплыгиным с целью исследования задач, содержащих свободные границы, так как эти задачи естественно связаны с годографом. Если область течения ограничена прямолинейными твердыми стенками и свободными границами, то ее образ на плоскости годографа имеет простую форму. Он ограничен дугами окружностей, являющимися образами свободных границ, вдоль которых скорость постоянна, а также отрезками радиусов, образов прямолинейных стенок, вдоль которых постоянен угол наклона вектора скорости.

Метод Чаплыгина.

Эти задачи были рассмотрены Чаплыгиным в его знаменитом мемуаре [1]. В частности, Чаплыгин решил две классические граничные задачи: об истечении струи через щель в прямолинейной стенке и о следе за прямолинейным сегментом.

В первой задаче область течения ограничена двумя твердыми стенками, которые мы предположим простирающимися вдоль оси у и двумя симметрично расположенными свободными границами, простирающимися до бесконечности (см. рис. 15.1, а) Скорость равна нулю в бесконечности вверх по течению, имеет некоторое постоянное дозвуковое

значение на свободных границах и стремится к предельному значению вниз по течению. Легко видеть, что образ области течения на плоскости годографа есть полукруг (рис. 15.1 ,б), в то время как образ области течения на плоскости потенциала (плоскость есть полоса (рис. 15.1, в). Отыскание точной формы свободных линий тока является, как обычно, частью всей задачи. Чтобы найти решение, достаточно найти функцию тока на плоскости годографа.

Рис. 15.1.

Другими словами, нам нужно найти решение уравнений Чаплыгина (3.3), отображающее область рис. 15.1, б на область рис. 15.1, в с отмеченным соответствием граничных точек Существование такого отображения есть, конечно, следствие теорем об отображениях, обсуждавшихся в предыдущем параграфе. Однако более удобно, следуя Чаплыгину и имея в виду получение искомой отображающей функции в простой форме, начать с рассмотрения соответствующей конформно отображающей функции, т. е. с решения той же самой задачи со свободными границами для несжимаемой жидкости.

Решение последней дается рядом

что хорошо известно и легко проверяется. Метод Чаплыгина получения решения для течения сжимаемой жидкости заключается в замене частных решений уравнения Лапласа

"соответствующими" частными решениями уравнений годографа (см. § 6). Точнее, Чаплыгин полагает

где есть требуемое (дозвуковое) значение вдоль свободных границ, а значение вспомогательной переменной [см. (6.3)] для Чаплыгин строго доказал, что ряд (15.2) равномерно сходится и представляет искомое решение.

Рис. 15.2.

Этот метод применим всегда, когда решение краевой задачи со свободными границами для течения несжимаемой жидкости может быть представлено рядом вида

В частности, он применим к задаче о следе за прямолинейным сегментом.

Обсуждавшийся в § 13 экстремальный профиль также дает некоторое решение задачи со свободными границами. Течение ограничено двумя вертикальными сегментами, соединенными двумя свободными границами (см. рис. 15.2, а). Годограф верхней половины течения показан на рис. 15.2, б. Соответствующая задача для несжимаемой жидкости была решена Рябушинским [1]. Гилбаргу и Шиффману (см. § 13) потребовалось решение для газа при дополнительном требовании, чтобы постоянное значение скорости на свободных

линиях тока было равно Простое выражение для этого течения было дано в случае газа, удовлетворяющего уравнению состояния Жермена — Лиже (Лиже [1]).

Другой способ решения задач о течениях газа, ограниченных свободными границами и прямолинейными стенками, принадлежит Бергману [4, 5].