Метод гильбертова пространства.

Применение методов гильбертова пространства к уравнениям смешанного типа было начато совсем недавно (см. Моравец [7], Фридрихе [7]).

Мы кратко объясним, как могут применяться эти методы при использовании формализма предложенного Фридрихсом истолкования метода разъясненного в § 17. Мы используем введенные там обозначения. В целях простоты мы предположим, хотя это совсем не существенно, что соответствующая матрице квадратичная форма является равномерно положительно определенной, так что

Вектор и с интегрируемым квадратом, определенный в рассматриваемой области называется сильным решении задачи (17.11) и (17.15), если существует последовательность непрерывно дифференцируемых векторов удовлетворяющих граничному условию и таких, что при

Теорема единственности для сильных решений сразу следует из тождества (17.14).

Ясно, что всякое непрерывно дифференцируемое решение задачи (17.11) и (17.15), так же как и всякое сильное решение, обладает следующим свойством: если есть непрерывно дифференцируемый вектор, удовлетворяющий граничному условию то

Вектор и, определенный в области обладающий интегрируемым квадратом и удовлетворяющий этому соотношению, называется слабым решением рассматриваемой задачи. Сильное и слабое решения сопряженной задачи (17.16), (17.17) определяются аналогично.

Тождество (17.14), дающее теорему единственности сильных решений, посредством надлежащего применения теоремы о проекциях в гильбертовом пространстве дает также теорему существования для слабых решений.

Основная задача теперь состоит в том, чтобы доказать, что всякое слабое решение является сильным решением. В случае эллиптических и гиперболических задач для этого используется хорошо известный способ "сглаживания", состоящий в построении линейных интегральных операторов, аппроксимирующих это тождество, коммутирующих с дифференцированием и преобразующих «дикие» функции в гладкие (см. Фридрихе [1, 3, 6]). В случае задач смешанного типа непосредственное применение сглаживания не дает желаемого результата, но Фридрихе обнаружил, что в некоторых случаях этот процесс может быть успешно видоизменен.

Если сильное решение найдено, то надо еще знать, будет ли это решение также непрерывно дифференцируемым и будет ли оно удовлетворять граничным условиям в классическом смысле. И здесь существуют методы, известные по работе с эллиптическими и гиперболическими задачами (см. Лаке [1] и данные там ссылки). Остается посмотреть, можно ли эти методы перенести на уравнения смешанного типа. В некоторых случаях это возможно. Дальнейшие подробности см. у Фридрихеа [7].

Можно ожидать, что в ближайшем будущем применение методов гильбертова пространства к уравнениям смешанного типа даст много интересных результатов.

Конечные разности.

Методы конечных разностей применялись для доказательства теорем существования для уравнений смешанного типа в весьма специальном случае, а именно в случае уравнения Лаврентьева — Бицадзе (16.15) (Халилов [1, 2], Карманов [1], Ладыженская [1] и другие). При помощи простого представления

решения уравнения (16.15) в гиперболической полуплоскости задача сводится к краевой задаче для уравнения Лапласа, хотя с довольно сложными граничными условиями. Именно к этой чисто эллиптической задаче и применялся метод конечных разностей (см. также Приложение).