§ 22. ОКОЛОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Связь краевой задачи Трикоми с теорией околозвуковых течений была впервые отмечена Франклем [2] в связи с теорией течений со свободными границами.

Построение струйного течения методом годографа.

Мы рассмотрим струю, вытекающую из бесконечного сосуда, ограниченного двумя симметрично расположенными прямолинейными стенками. Наклон стенок к оси симметрии будет обозначаться Течение предполагается дозвуковым внутри сосуда с нулевой скоростью в бесконечности вверх по течению. Скорость становится звуковой на линии, проходящей через концы стенок, после чего течение продолжается в виде струи, вдоль границы которой скорость принимает постоянное сверхзвуковое значение Характер этого течения зависит от некоторой характеристической скорости определяемой следующим образом. Проведем на плоскости годографа радиус с наклоном он пересечет звуковую линию в некоторой точке А (рис. 22.1).

Рис. 22.1.

Рис. 22.2.

Пусть и СВ — две характеристики, выходящие из точек . Тогда есть скорость, соответствующая точке В.

Если то искомое течение может быть построено путем решения некоторой краевой задачи Трикоми. В случае область течения показана на рис. 22.2, а. В точке С пересекаются звуковая линия и четыре характеристические дуги. Течение следует определить сначала в заштрихованной области, ограниченной стенками и характеристикой На плоскости годографа образ этой части течения есть заштрихованная область на рис. 22.2, б. Функция тока удовлетворяет уравнению Чаплыгина (3.4)

и определяется следующими граничными условиями типа Трикоми: на на и на На характеристиках и никаких условий не задается. Ясно, что этого достаточно для решения краевой задачи в области Так как характеристика и вдоль нее постоянна, то потенциал также постоянен на откуда следует [см. (3.2)], что вся характеристика отображается в одну точку в физической плоскости. Вблизи этой точки течение аналогично течению Прандтля—Мейера (центрированная простая волна). После того как течение определено в заштрихованной области, его продолжение в сверхзвуковую область может быть выполнено методом Прандтля — Буземанна. Это требует только решения чисто гиперболических задач классического типа. Точнее, мы сначала находим течение в области 2, ограниченной характеристиками и и свободной границей Эта часть области течения отображается на характеристический треугольник в плоскости годографа. Это решение должно совпадать с уже найденным вдоль и должно принимать постоянное значение вдоль Затем решение определяется в области 3, снова соответствующей треугольнику в плоскости годографа, и, далее, в области 4, соответствующей "прямоугольнику" в плоскости годографа, и так далее. Заметим, что получаемое решение имеет слабые разрывы, так как производные от функции тока могут быть разрывны вдоль некоторых характеристик, и что отображение с физической плоскости в плоскость годографа обладает складками.

В случае область течения и ее образ на плоскости годографа показаны на рис. 22.3. Течение в заштрихованной области остается прежним, но продолжается по-другому. Часть 2 области течения соответствует прямоугольнику . В этой области решение, описывающее течение в 2, совпадает с уже найденным решением вдоль характеристики и принимает постоянное значение вдоль характеристики и вдоль дуги окружности Опять дуга характеристики отображается в одну точку. Область течения 3 соответствует прямоугольнику область 4 — области, ограниченной четырьмя характеристиками области 5 и 6 — характеристическому треугольнику и так далее.

Для область течения и ее годограф показаны на рис. 22.4. В этом случае заштрихованная область течения соответствует области в плоскости годографа, ограниченной радиусами дугами характеристик и и двумя дугами окружности и

Рис. 22.3.

Граничные условия для этой области таковы: на на на Следовательно, здесь искомая функция тока является решением некоторой задачи Франкля. Это первый случай, когда возникает такая задача. Продолжение течения за линию Маха усматривается непосредственно из рисунка.

Рис. 22.4.

Насколько автору известно, решение сформулированной выше задачи Франкля до сих пор еще не было вычислено.

Критическая струя.

В предельном случае, когда краевая задача переходит в задачу Дирихле в секторе, а ее

решение дается формулами Чаплыгина, описанными в § 15. Эта "критическая струя" обладает специфическим свойством, отмеченным Овсянниковым [1] (см. также Гертлер [1], Гудерлей [4] и Румье [1]). В струе несжимаемой жидкости или в сжимаемой всюду дозвуковой струе скорость переменна внутри всей струи и достигает предельного значения только в бесконечности. Однако в критической струе предельное значение принимается на конечном расстоянии от сосуда, причем точно вдоль прямой линии. За этой линией течение продолжается как равномерное со скоростью звука. Седов [2] показал, что это верно для любой критической струи, даже если стенки сосуда являются криволинейными.

Интересно отметить, что в рамках аппроксимации Жермена— Лиже критическая струя представляется простой формулой. Это верно также для критического течения типа Гельмгольца в случае пластинки или симметричного клина (Жермен [3]).

Околозвуковые краевые задачи со свободными границами и криволинейными твердыми стенками до сих пор еще не исследованы.