§ 21. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ В КАНАЛЕ

Околозвуковые течения в каналах были впервые исследованы Тейлором [1] и Мейером [1], использовавшими разложения в степенные ряды. Мы будем, как обычно, рассматривать каналы, симметричные относительно оси х и такие, у которых поперечное сечение сначала уменьшается, а потом увеличивается (сопла Лаваля).

Рис. 21.1.

Имеется два типа околозвуковых течений в таком канале. В случае симметричного, или тейлоровского, типа течения имеются два сверхзвуковых включения, аналогичных тем, которые встречались в околозвуковом течении вокруг профиля (рис. 21.1, а). Ясно, что все трудности, встречавшиеся в теории профиля, вновь появляются и в этом случае. В несимметричном, или мейеровском, типе течения (рис. 21.1, б) звуковая линия простирается от одной стенки сопла до другой; вверх по потоку течение

является дозвуковым, а вниз — сверхзвуковым. Можно, конечно, обратить направление течения мейеровского типа, но получаемое при этом решение представляло бы течение, неустойчивое по отношению к малым изменениям формы сопла.

Пример течения мейеровского типа.

Теория течений мейеровского типа была развита Астровым, Левиным, Павловым и Христиановичем [1], Франклем [6, 8], Фальковичем [1, 2], Лайтхиллом [1], Черри [4], Трикоми [2], Томотика и Тамада [1] и другими. Основные особенности этой теории могут быть хорошо описаны путем рассмотрения простого примера течения мейеровского типа в случае газа Трикоми.

При исследовании задач о соплах удобнее использовать в качестве независимых переменных потенциал скорости и функцию тока так как линии тока и эквипотенциальные линии образуют в области течения регулярную координатную сеть (см. § 8). Для газа Трикоми угол наклона вектора скорости и функция скорости 5 удовлетворяют в силу (5.9) нелинейной системе дифференциальных уравнений

(Здесь и в дальнейшем мы опускаем штрихи.) Напомним, что в дозвуковом течении и в сверхзвуковом течении. Легко проверить, что при любом формулы

дают решение системы (21.1); это решение представляет течение мейеровского типа в сопле, если принять линии с за стенки. Звуковая линия есть парабола, проходящая через начало координат

Другие линии постоянной скорости являются конгруэнтными параболами (см. рис. 21.2). Легко установить, что величина А пропорциональна значению в начале координат. Уравнения характеристик имеют вид

Следовательно, через начало координат проходят две характеристики с уравнениями

Якобиан равен Легко проверить, что якобиан положителен при и отрицателен при Поэтому отображение области течения в плоскость годографа не является взаимно однозначным вблизи начала координат; оно имеет складки вдоль характеристик

Рис. 21.2.

Три области, I, II, III, отображаются в одну и ту же область плоскости годографа. (От скверной привычки говорить о годографе такого течения как о римановой поверхности следует отказаться, так как накрывающая риманова поверхность характеризуется наличием только точек ветвления, но не складок.) Отображение с плоскости потенциала [плоскость в физическую плоскость не имеет особенностей, так что линии постоянной скорости, линии тока и характеристики имеют в физической плоскости ту же форму, что и соответствующие линии, показанные на рис. 21.2.

Общий случай.

Хотя мы рассмотрели весьма специальный пример течения в сопле, можно показать, что этот пример является типичным. Действительно, рассмотрим в

физической плоскости течение через сопло, в котором скорость вдоль оси х представлена степенным рядом

причем Для отыскания течения в окрестности начала координат мы напишем потенциал скорости в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами

Подставляя этот степенной ряд в нелинейное уравнение (2.14), легко получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов. Полученный степенной ряд будет сходиться для достаточно малых значений и будет представлять течение в сопле Мейеровского типа, если за стенки канала принять две линии тока с с достаточно малым с. Другими словами, существование течения мейеровского типа с заданным аналитическим распределением скорости вдоль оси симметрии есть следствие классической теоремы существования Коши — Ковалевской. Рассматривая несколько первых членов разложения (21.4), легко проверить, что звуковая линия отклоняется вверх по потоку, что из начала координат выходят четыре характеристические дуги и что отображение в плоскость годографа имеет такие же свойства складчатости, как и в предыдущем примере.

Теорема Коши — Ковалевской дает течение через сопло только в малой окрестности начала координат. Посредством более детального анализа Франкль доказал существование течения мейеровского типа в большом. Он показал, что если течение задано в физической плоскости вплоть до звуковой линии и если вдоль звуковой линии функция тока, рассматриваемая как функция от угла удовлетворяет соотношениям

а также соответствующим соотношениям для производной по 0, то это течение может быть продолжено через звуковую линию как сверхзвуковое течение в сопле без слабых разрывов. Это сверхзвуковое течение определено не

единственным образом (см. § 19); можно еще задать распределение скорости вдоль положительной оси х при условии, что это распределение выбрано в виде достаточно гладкой функции и что оба предела

совпадают. Франкль нашел также способ получения течений в дозвуковой области, имеющих требуемые свойства. Его формула имеет вид

где гипергеометрические функции (6.4), а постоянные. Течения мейеровского типа для идеального газа были построены также Лайтхиллом, Черри и Астровым, Левиным, Павловым и Христиановичем.

Течения со слабыми разрывами.

Существуют также течения мейеровского типа, в которых пределы (21.6) различны. В таких течениях имеется слабый разрыв вдоль одной из характеристик, выходящих из начала координат. Простой пример можно получить из описанного выше течения газа Трикоми. Следуя Фальковичу, мы будем искать течение, заданное формулами (21.2) в области плоскости слева от характеристики и формулами

справа от характеристики . В области, заключенной между этими двумя характеристиками, решение ищется в виде где Легко видеть, что функции должны удовлетворять обыкновенным дифференциальным уравнениям

и граничным условиям

Элементарными средствами Фалькович показал, что эта краевая задача может быть решена, если

Опять-таки этот результат является типичным. Франкль доказал в случае адиабатического уравнения состояния, что дозвуковое течение в сопле, определенное вплоть до звуковой линии и удовлетворяющее условиям (21.5), может быть продолжено как течение со слабым разрывом, если заданное распределение сверхзвуковой скорости вдоль оси х таково, что и если выполняются неравенства

Простое решение (21.2) нелинейной системы (21.1) содержится в семействе решений вида

где постоянные, Для того чтобы эта функция 5 удовлетворяла вытекающему из (21.1) уравнению второго порядка

функция О должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению

Томотика и Тамада получили некоторое семейство решений этого уравнения (при ), зависящее от вещественного параметра. Это дало для газа Трикоми как течения тейлоровского типа, так и течения мейеровского типа, а также одно решение, содержащее два сверхзвуковых включения, касающихся друг друга в одной точке. Это решение может рассматриваться как переходное от тейлоровского течения к мейеровскому. Однако следует иметь в виду, что здесь при изменении параметра меняются и стенки канала и что теоремы несуществования из § 20, вероятно, применимы также к течениям тейлоровского типа в соплах.