Целые решения и особенности.

Стоит сказать несколько слов о теоретико-функциональных свойствах квазилинейных уравнений вида (10.1). Мы уже отмечали тривиальный, но полезный факт, что всякое решение квазилинейного эллиптического уравнения является также решением некоторого линейного уравнения. Поэтому решения эллиптических уравнений (10.1) не могут иметь других особенностей, кроме тех, которые разрешает теория псевдоаналитических функций. С другой стороны, нелинейность уравнения может иногда ограничить разнообразие возможных особенностей.

Это явление было замечено Бернштейном [1], доказавшим, что любое целое решение уравнения минимальных поверхностей (5.2), т.е. решение, определенное при всех значениях х, у, есть линейная функция. Перефразируя теорему Бернштейна, можно утверждать, что только равномерное течение является течением газа Чаплыгина, занимающим всю плоскость.

На сегодня существует поразительное количество различных доказательств этой теоремы (Радо [1], Берс [9], Хопф [3], Микл [1], Хейнц [1] и Ниче [1]). Можно также показать (Берс [9]), что всякое решение уравнения минимальных поверхностей, определенное вне некоторой большой окружности, таково, что существует конечный предел

Аналогичное утверждение может быть доказано для уравнения, которому удовлетворяет потенциал скорости адиабатического газа, причем в этом случае доказательство много проще. Поэтому всякое дозвуковое течение, занимающее всю плоскость, необходимо является равномерным и всякое дозвуковое течение, определенное при больших значениях таково, что скорость стремится к некоторому дозвуковому предельному значению на бесконечности.

С математической точки зрения интересен вопрос о том, когда общее эллиптическое уравнение вида (10.1) обладает только линейными целыми решениями. Достаточные условия были даны Финном [2] и Берсом [17]; необходимые и достаточные условия до сих пор не найдены.

Уравнение минимальных поверхностей обладает другим специальным свойством (Берс [9]). Однозначное решение этого уравнения, определенное в окрестности некоторой точки необходимо является регулярным также и в Газодинамическая интерпретация этого уравнения приводит к простому правдоподобному соображению в пользу этой теоремы. Если бы изолированная особенность была возможна в течении газа Чаплыгина, то должна была бы существовать простейшая из возможных особенностей, скажем точечный источник. Но точечный источник, очевидно, невозможен, так как вблизи этого источника поток массы должен был бы стать произвольно большим, в то время как связь плотности со скоростью в газе Чаплыгина (5.1)

показывает, что он равномерно ограничен. Этот аргумент наводит на мысль об обобщении теоремы об устранимых особенностях, доказанном Финном [1]. Если эллиптическое уравнение (10.1) может быть записано в виде закона сохранения (10.3) с равномерно ограниченными функциями то однозначные решения этого уравнения имеют только устранимые изолированные особенности.

В частности, это утверждение верно и совсем просто доказывается в случае уравнения для потенциала в адиабатическом газе (Берс [16]). В этом случае даже не надо требовать однозначности решения, а достаточно потребовать однозначности производных. С другой стороны, в газе Чаплыгина существует особенность, описывающая точечный вихрь, так как функция удовлетворяет уравнению минимальных поверхностей.