Обобщения теоремы Римана об отображении.

Рассмотрим ту же самую задачу для течения с переменной плотностью, т. е. для линейной системы (8.1). Решение всегда существует; этот результат представляет собой лишь частный случай обобщения теоремы Римана об отображении, принадлежащего Шапиро [1].

Теорема Шапиро об отображении относится к квазилинейной равномерно эллиптической системе с непрерывными коэффициентами вида

Она утверждает, что существует решение этой системы, отображающее данную односвязную область на другую данную область, причем отображение подчинено таким же условиям нормировки, как и при конформном отображении (см. Берс и Ниренберг [2]).

Доказательство Шапиро основано на замечании, что система (14.2) сохраняет как свой вид, так и свойство равномерной эллиптичности при любом конформном отображении плоскости или плоскости Поэтому достаточно доказать эту теорему для некоторых стандартных областей, например для отображения прямолинейной полосы на себя.

Обобщение теоремы Римана на случай линейной равномерно эллиптической системы, в частности системы вида (8.1), представляет собой, конечно, следствие более общего утверждения. Независимое доказательство обобщенной теоремы Римана об отображениях для линейных систем принадлежит

Дресселю и Гергену [1-3]. Любопытно, что в этом случае доказательство более общего утверждения выглядит проще, чем доказательство в линейном случае.

Существование адиабатического течения газа в данном канале также может быть интерпретировано как теорема об отображении, но не для квазилинейной системы, а для нелинейной системы

На самом деле это есть частный случай весьма широкого обобщения теоремы Римана об отображении на нелинейные эллиптические системы, полученного Лаврентьевым [2, 3].

Отметим также, что обобщение теоремы об отображении для квазилинейных систем на многосвязные области недавно было получено Партером [1].