Теоремы о квазиконформных отображениях.

Теперь мы сформулируем основные свойства, которыми обладают

решения уравнений Бельтрами, или, что то же самое, квазиконформные отображения. За доказательствами мы отсылаем к статьям Морри [1], Берса и Ниренберга [2] и Боярского [1]; см. также Альфорс [2, 3], Каччиопполи [2], Лаврентьев [2, 3], Ниренберг [1], Морри [1], Чжэн [1], Берс [20] и Векуа [3].

1. Если дана риманова метрика (8.8) с измеримыми коэффициентами, удовлетворяющими условию (8.9) и определенными в области то в этой области существует решение принадлежащих к этой метрике уравнений Бельтрами, которое является гомеоморфизмом (топологическим отображением) области

1а. Если есть единичный круг, то этот гомеоморфизм может быть выбран так, чтобы он отображал единичный круг на себя и оставлял неподвижными начало координат и точку 1. При этом отображение есть гомеоморфизм замкнутого единичного круга.

2. Если метрика имеет коэффициенты, непрерывные по Гельдеру, то каждое решение принадлежащих этой метрике уравнений Бельтрами имеет непрерывные по Гёльдеру частные производные.

3. Пусть 2 будет каким-нибудь решением системы Бельтрами. Тогда где - любая аналитическая функция, есть снова решение той же самой системы Бельтрами.

4. Пусть Два решения одной и той же системы Бельтрами, определенные в некоторой области Если является гомеоморфизмом, то имеет вид где аналитическая функция.

5. Обращение -квазиконформного гомеоморфизма само -квазиконформно. Суперпозиция -квазиконформной функции с -квазиконформной является -квазиконформной.

6. Пусть дан некоторый квазиконформный гомеоморфизм области на область При этом отображении невырожденный граничный континуум соответствует невырожденному граничному континууму

7 (основное неравенство). Пусть дано -квазиконформное топологическое отображение единичного круга на себя, оставляющее неподвижным начало координат. Тогда

где К зависят только от Q. (Согласно недавнему результату Мори, это неравенство справедливо с причем это значение является наилучшим из возможных.)