Применение функций Чаплыгина.

Мы кратко опишем метод Лайтхилла один из первых и наиболее общих. Этот метод основан на изучении свойств частных решений (см. § 6). В частности, Лайтхилл использовал тот факт, что при функция рассматриваемая как функция комплексного переменного является мероморфной функцией, имеющей только простые полюсы с положительными вычетами при

Пусть дано течение несжимаемой жидкости вокруг некоторого профиля, допускающее представление (20.1) при в бесконечности; Лайтхилл рассматривает решение вида

которое может быть аналитически продолжено за пределы области сходимости этого ряда. Здесь есть значение соответствующее заданной скорости в бесконечности функция, подлежащая определению. [Заметим, что в (20.2) мы имеем Предположим, что эта функция обладает следующими свойствами;

есть аналитическая функция от во всей комплексной плоскости, за исключением, быть может, вещественных полюсов с вещественными вычетами, однако расположенными не в целых отрицательных точках или в нуле.

2. Существует функция такая, что при где есть определенная функция от которую мы здесь не приводим. Точнее, разность должна стремиться к нулю равномерно вдоль некоторой последовательности кривых в плоскости Эти кривые удаляются в бесконечность при а их расстояние от полюсов ограничено.

3. При имеем равномерно для всех из любого компактного множества, не содержащего при малых полюсов

При этих условиях Лайтхилл показал, каким образом можно получить аналитическое продолжение решения (20.3). Условие 3 обеспечивает, что при полученное решение переходит в исходное решение для течения несжимаемой жидкости. Условие 2 означает, что ряд (20.3) ведет себя вблизи так же как (20-1) вблизи После того как ряд (20.3) продолжен за пределы его исходной области сходимости, течение в физической плоскости получится при условии, что отображение с плоскости годографа посредством (2.3) будет взаимно однозначным. Если данное течение несжимаемой жидкости является бесциркуляционным, то это отображение будет взаимно однозначным вблизи точки, соответствующей бесконечно удаленной точке, для каждой функции удовлетворяющей условиям 1, 2, 3, и Лайтхилл выбирает простейшую из возможных функций Если циркуляция имеется, то необходим специальный выбор функции

Для достаточно малых значений числа Маха искомого течения в годографе не будет предельных линий и получается вообще течение вокруг некоторого профиля. В частности, этим путем можно получить течения с местными сверхзвуковыми областями.