§ 8. КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Общеизвестно, каким могущественным орудием служат конформные отображения в теории двумерных течений несжимаемой жидкости. В теории течений сжимаемой

жидкости аналогичную роль играют обобщения конформных отображений. Было бы соблазнительно переделать историю и объявить, что квазиконформные отображения были открыты в связи с задачами газовой динамики. Однако на самом деле к понятию квазиконформности Грётч [1] и Альфорс [1] пришли с точки зрения теории функций. Мы покажем, как эта концепция естественно возникает при рассмотрении течений сжимаемой жидкости.

Геометрический смысл уравнений течения.

Функция тока и потенциал скорости течения сжимаемой жидкости связаны соотношениями (2.16). Здесь плотность есть заданная функция скорости; тем не менее во многих примерах полезно рассматривать плотность как данную функцию точек пространства.

Мы заметим, что линейные уравнения

имеют также и другой физический смысл: они могут рассматриваться как уравнения, описывающие течение электричества в мелкой ванне, наполненной электролитом с постоянной проводимостью. Мы можем рассматривать либо и и как компоненты напряженности электрического поля, причем будет пропорционально глубине ванны, либо считать, что поле напряженности задано вектором и тогда обратно пропорционально глубине. Такая электролитическая ванна может быть использована для получения последовательных членов в итерационной схеме Тейлора — Шермана (см. § 4). Одно из полных описаний применения гидроэлектрической аналогии для решения краевых задач можно найти у Малавара [1, 2]. Отметим, что в первой интерпретации препятствие представляет собой изолятор, а во второй — совершенный проводник. Однако для нашей цели мы будем мыслить систему (8.1) как систему, описывающую течение жидкости с заданной переменной плотностью.

Если плотность постоянна , то мы имеем уравнения Коши — Римаиа Их геометрический смысл таков: если провести эквипотенциальные линии и линии тока

для малого то эти кривые приближенно образуют сетку квадратов. Другими словами, отображение в бесконечно малом есть преобразование подобия, т. е. оно конформно. Предположим теперь, что плотность переменна, но удовлетворяет неравенствам вида

В этом случае эквипотенциальные линии и линии тока (8.2) приближенно образуют сетку прямоугольников, модули которых (отношения длины к ширине) ограничены значениями Для отображения это означает, что бесконечно малые окружности переходят в малые эллипсы с равномерно ограниченным эксцентриситетом. Такое отображение называется квазиконформным.