§ 23. ТЕЧЕНИЯ ВОКРУГ ПРЕПЯТСТВИЯ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ И ЗВУКОВОЙ СКОРОСТЯМИ НЕВОЗМУЩЕННОГО ПОТОКА

В § 20 мы имели дело с околозвуковыми течениями вокруг препятствия с числом Маха невозмущенного потока Теперь мы рассмотрим течения с . В таком течении обязательно должен быть скачок перед препятствием (головная волна). Течение является равномерным перед головной волной. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что этот скачок слабый, так что течение за скачком может рассматриваться как потенциальное, и нас будут интересовать только те случаи, в которых течение становится дозвуковым после перехода через скачок перед препятствием. Чисто сверхзвуковое течение вокруг препятствия исследуется легче, и по этому вопросу мы отсылаем к общим монографиям и статьям (см. Курант и Фридрихе [11, Зауер [1], Ландау и Лифшиц [1], Липман и Пакетт [1], Огучи [1]).

Граничные условия на скачке в плоскости годографа.

Хотя форма скачка заранее неизвестна, его образ в плоскости годографа можно найти. Для этого мы напомним определение так называемой ударной поляры. Пусть течение перед фронтом скачка горизонтально и имеет скорость Из установленных в § 2 двух механических условий скачка следует, что вектор скорости на другой стороне скачка не может быть произвольным; геометрическое место концов всевозможных векторов скорости в плоскости годографа представляет собой кривую, определяемую условиями скачка и принятой связью плотности со скоростью.

Рис. 23.1.

Эта кривая называется ударной полярой, принадлежащей скорости Для течения адиабатического газа ударная поляра дается уравнением

Следовательно, она аналогична декартову листу или, точнее, петле этого листа (рис. 23.1). Если вектор скорости после скачка имеет наклон X, то его величина может иметь одно из двух значений, показанных на рис. 23.1. Заметим, что большее из этих значений будет дозвуковым только для значений X, весьма мало отличающихся от максимально возможного наклона

Расположенный вниз по течению берег головной волны будет отображаться в плоскости годографа на некоторую дугу ударной поляры. Если вдоль этой дуги известны функция тока и потенциал то форма головной волны

в физической плоскости определяется соотношением (3.2). Но вверх по течению от головной волны мы имеем

а потенциал скорости и функция тока должны меняться непрерывно при переходе через скачок. Поэтому вдоль мы должны иметь

и простые вычисления показывают, что это соотношение вместе с уравнениями Чаплыгина приводит к условию вида

с некоторыми вполне определенными функциями а и Это и есть граничное условие, которому должна удовлетворять функция тока вдоль ударной поляры.

Отсоединенный скачок перед клином.

Если препятствие имеет тупую переднюю часть, то головная волна будет от него отсоединена, так как на тупой передней стороне должна быть точка с нулевой скоростью. Для заостренного профиля головная волна будет отсоединена, если разность достаточно мала (нижний околозвуковой диапазон). Определение такого течения в случае препятствия произвольной формы до сих пор еще не выполнено. Однако может быть рассчитано симметричное течение для специального случая прямолинейного клина. Эта краевая задача была поставлена Франклем [3, 4] и численно решена Винченти и Вагонером [2, 3] для газа Трикоми. Область течения и ее годограф показаны на рис. 23.2 (мы рассматриваем только верхнюю половину симметричного течения). Звуковая линия располагается от угловой точки В на клине до точки на линии скачка. Имеется линия Маха, соединяющая точки причем в области между этой "предельной линией Маха“ и звуковой линией, вблизи точки В, течение имеет характер течения Прандтля — Мейера. Линии Маха, выходящие из других точек профиля, не проникают в заштрихованную область. Следовательно, течение в этой области полностью определено и не зависит от формы профиля вниз по потоку от угловой точки В. Как только течение

в заштрихованной области найдено, его продолжение вниз по потоку есть чисто сверхзвуковая задача, которую мы здесь обсуждать не будем. В частности, мы не будем интересоваться ударными волнами, которые будут появляться вниз по потоку. Граничные условия для заштрихованной области в плоскости годографа таковы: на на и на характеристике в точке вдоль характеристики не задается никакого условия; вдоль ударной поляры функция тока должна удовлетворять условию (23.1).

Рис. 23.2.

Течение будет определено, как только мы найдем решение уравнения Чаплыгина (3.4), удовлетворяющее этим граничным условиям. Как и в рассмотренном в предыдущем параграфе случае, функция тока, потенциал скорости и координаты х, у будут постоянны вдоль характеристики которая будет отображаться в одну точку в физической плоскости.

Рассматриваемая краевая задача является обобщением задачи Трикоми. Она отличается от обычной задачи Трикоми более сложным граничным условием (23.1), заданным вдоль некоторой части эллиптической границы. Теорема единственности для этой задачи была установлена Франклем.

Винченти и Вагонер вычислили решение этой краевой задачи для уравнения Трикоми. В этом случае область имеет форму, показанную на рис. 23.3. Так как граничное условие вдоль характеристики имеет специальный вид то из результатов, отмеченных в § 16, следует, что вдоль линии параболичности нормальная и тангенциальная производные от решения должны быть связаны некоторым интегральным соотношением [см. (16.27) и (16.27а)]. Винченти и Вагонер рассматривают это соотношение как некоторое

граничное условие и трактуют задачу как чисто эллиптическую в области Фактический расчет выполняется посредством аппроксимации этой задачи некоторой конечноразностной задачей, которая решается с помощью релаксационного метода.

Несимметричное течение вокруг клина с отсоединенной ударной волной является более трудным для описания, так как не вполне ясно, какое поле течения будет вблизи переднего конца. В работе [1] Винченти и Вагонер исследуют несимметричное течение, рассматривая его как слабо возмущенное симметричное течение. Задача снова сводится к краевой задаче типа Трикоми с однородным граничным условием вдоль одной характеристики и исследуется вышеописанным методом.

Рис. 23.3.

В принципе такая же краевая задача может быть поставлена и в случае криволинейного профиля. Условие вдоль ударной поляры остается неизменным, однако форма остальной части эллиптической границы будет неизвестна.

Скачок, присоединенный к клину.

В случае заостренного профиля существует небольшой диапазон сверхзвуковых чисел Маха (верхний околозвуковой диапазон), для которого головная волна будет присоединена к прсфилю, причем течение за скачком вблизи профиля будет дозвуковым. В случае клина это течение приводит снова к краевой задаче типа Трикоми, исследованной Йосихара [1] для уравнения Трикоми. (Относительно превращения отсоединенной головной волны в присоединенную см. Гудерлей [4] и Ферри [1].)

Область течения и ее годограф показаны на рис. 23.4. Граничные условия такие же, как и прежде, причем здесь, конечно, нет никакой разницы между симметричным и несимметричным случаями. Йосихара использовал вместо разностной схемы представление решения в виде ряда по частным решениям уравнения Трикоми. Эти решения выбирались так, чтобы удовлетворить граничному условию вдоль характеристики и вдоль прямолинейной части эллиптической

границы. Затем подбиралась конечная линейная комбинация из этих решений, удовлетворяющая условию на ударной поляре в конечном числе точек.

Течение с числом Маха, равным единице.

В предельном случае головная волна удаляется к .

Рис. 23 4.

Такие течения были исследованы Франклем [7, 10] и независимо Гудерлеем [2, 3], а также Гудерлеем и Йосихара [2].

Рис. 23.5.

На рис. 23.5 показано симметричное течение с числом Маха единица вокруг клина. Звуковая линия простирается от угловой точки В до бесконечности. Предельная линия Маха также простирается от угловой точки В до бесконечности, причем течение вверх по потоку от нее не зависит от возмущений позади этой предельной линии Маха. Граничные

условия в плоскости годографа, очевидно, таковы: на и Для того чтобы решение не было тождественно равно нулю и чтобы точка отображалась в бесконечно удаленную в физической плоскости, это решение должно иметь особенность в точке Для уравнения Трикоми соответствующее особое решение должно быть определено в области, показанной на рис. 23.6, и должно удовлетворять следующим условиям: решение регулярно на характеристиках и и дает взаимно однозначное отображение в физическую плоскость, переводящее точку в бесконечность. Если искать такое решение в виде (19.2), то можно показать, что единственным возможным значением является в этом случае решение есть алгебраическая функция, а именно

Рис. 23.6.

Эта особенность была открыта Франклем и Гудерлеем.

В статье Гудерлея и Йосихара окончательная краевая задача решается приближенно путем представления решения в виде бесконечного ряда из определенных специальных решений уравнения Трикоми. Отыскание коэффициентов требует решения бесконечного числа линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных. Однако, заменяя эти решения более простыми асимптотическими, Гудерлей и Йосихара преобразовали эту бесконечную систему в сингулярное интегральное уравнение, которое может быть решено известными методами. В последующей статье [3] эти же авторы рассмотрели, с помощью метода малых возмущений, несимметричное течение вокруг клина при числе Маха, равном единице.

Недавняя статья Копылова содержит другую трактовку околозвукового течения вокруг клина. Окончательные результаты аналогичны результатам Гудерлея и Йосихара; см. также Асланов [1].

Интересно, что если решение уравнения Трикоми (23.2) преобразовать в решение уравнения Жермена-Лиже (см. § 5), то получится точное решение задачи о клине для газа Жермена — Лиже (Жермен [3], Лиже [1]).

Франкль не ограничился приближением Трикоми. Он показал, каким образом к решению (23.2) можно добавить поправочные члены низшего порядка, чтобы получить решение уравнения Чаплыгина, обладающее требуемой особенностью.

Вышеупомянутая особая функция может быть использована не только в случае клина, но также и в случае произвольного профиля. В общем случае снова имеется предельная линия Маха, встречающая звуковую линию в бесконечности, но теперь она может выходить из некоторой точки профиля, расположенной вниз по потоку от звуковой линии. Изучив природу особенности этой функции, Франкль показал, что вдоль звуковой линии и вдоль предельной линии Маха вертикальное возмущение скорости ведет себя при и что горизонтальное возмущение скорости ведет себя как при Далее, звуковая линия и предельная линия Маха являются асимптотически, в бесконечности, параболами вида Франкль обнаружил также, что всякое разложение вида

будет представлять дозвуковую часть течения с числом Маха, равным единице, вокруг некоторого профиля с тупым носком. Несимметричное течение может быть получено путем замены в слагаемом с множителя на

Едва ли необходимо отмечать, насколько интересно было бы получить общие теоремы существования и эффективные методы вычисления для рассмотренных здесь типов течения, когда профиль является произвольно заданной кривой. Эта задача, вероятно, очень трудна.