Установившееся потенциальное течение.

Мы будем иметь дело исключительно с установившимися течениями, т. е. с решениями уравнений движения, не зависящими от времени Кроме того, мы будем предполагать, что течение является безвихревым, т. е. что вектор вихря

тождественно обращается в нуль. Имеются достаточные физические основания для рассмотрения таких течений, так как с помощью уравнений Эйлера можно показать, что линейный интеграл от вихря по замкнутой материальной кривой, т. е. по такой кривой, скорости точек которой имеют компоненты сохраняется постоянным (теорема Кельвина). Поэтому течение, которое вначале было безвихревым, будет оставаться таковым. Теорема Кельвина справедлива также при наличии массовых сил при условии, что эти силы консервативны.

Легко видеть, что в потенциальном течении величина

остается постоянной (теорема Бернулли). Из теоремы Бернулли следует, что в потенциальном течении плотность есть известная функция скорости. Единицы измерения могут быть выбраны так, что будет при Тогда

будет убывающей функцией, определяемой уравнением

причем

В частности, если течение подчиняется адиабатическому закону связи давления с плотностью (2.1), мы имеем

Отсюда следует, что течение является дозвуковым, если скорость меньше критической скорости

и что ввиду положительности вообще возможны только значения скорости, меньшие максимальной скорости

Так как вихрь тождественно равен нулю, то компоненты скорости являются частными производными от (не обязательно однозначной) функции называемой потенциалом скорости:

Теперь уравнение неразрывности может быть записано в виде

или, в силу (2.7) и (2.8),

Это основное уравнение газовой динамики. Напомним, что входящая в это уравнение величина является известной функцией модуля скорости

Следовательно, это уравнение нелинейное, точнее, квазилинейное, так как производные второго порядка входят в него линейным образом.

Дозвуковое и сверхзвуковое течения. Тип квазилинейного уравнения зависит от рассматриваемого решения. Дискриминант уравнения (2.11) равен Это очевидно для точек, в которых вектор скорости имеет направление оси так что причем достаточно рассмотреть только этот случай, так как уравнение (2.11)

инвариантно относительно вращений. Таким образом, это уравнение является эллиптическим, если течение дозвуковое, и гиперболическим, если течение сверхзвуковое. В точках, где местная скорость равна местной скорости звука это уравнение имеет параболический тип.

Мы будем в дальнейшем предполагать, что связь плотности со скоростью (2.7) имеет в общем такой же характер, как и для адиабатического случая (2.9). Точнее, мы предположим, что функция определена, положительна, является достаточно гладкой и невозрастающей в интервале

и что существует значение такое, что при при где величина определена уравнением (2.8). Каждая такая функция соответствует некоторой связи давления с плотностью причем в силу

Простое, но очень важное различие между дозвуковым и сверхзвуковым течениями следует из соотношения

показывающего, что величина (поток массы) является возрастающей функцией скорости при дозвуковых скоростях и убывающей при сверхзвуковых. Отсюда следует, что в тонкой трубке, в поперечных сечениях которой скорость в первом приближении может считаться постоянной, при сужении трубки скорость будет возрастать или убывать в зависимости от того, будет ли течение дозвуковым или сверхзвуковым.