9.5.2. Последовательный критерий отношения правдоподобия (критерий Вальда) и его свойства.

Построение статистического критерия При фиксированном объеме выборки (см. п. 9.3.1) сводится в конечном счете к разбиению области возможных значений критической статистики на две части: область правдоподобных и область неправдоподобных (в условиях справедливости проверяемой гипотезы ) значений При попадании конкретного значения в область неправдоподобных значений принимается решение об отклонении проверяемой гипотезы.

Последовательный критерий, т. е. критерий, основанный на последовательной схеме наблюдений, построен по той же логической схеме с одним отличием: последовательно для каждого фиксированного объема выборки область возможных значений критической статистики разбивается на три непересекающиеся

части: область IV правдоподобных, область неправдоподобных и область сомнительных (в условиях справедливости проверяемой гипотезы ) значений, т. е.

На каждом шаге последовательной схемы наблюдений, т. е. при наличии наблюдений решение принимается по следующему правилу:

если , то проверяемая гипотеза принимается;

если , то проверяемая гипотеза отвергается (или принимается некоторая альтернатива );

если , то окончательный вывод откладывается и производится следующее наблюдение (поэтому область иногда называют областью неопределенности или областью продолжения наблюдений).

Таким образом, для того чтобы иметь какой-то конкретный статистический критерий, надо конкретизировать: а) тип проверяемой гипотезы; б) способ построения критической статистики способ построения областей по заданным (требуемым) значениям характеристик точности критерия.

В качестве конкретного примера последовательного критерия рассмотрим известный критерий отношения правдоподобия Вальда [21], предназначенный для различения двух простых гипотез вида (9.13).

Критическая статистика этого критерия для последовательности независимых наблюдений определяется соотношением

Области правдоподобных неправдоподобных и сомнительных в условиях справедливости гипотезы значений критической статистики приближенно

задаются соотношениями:

А. Вальдом и Дж. Вольфовицем [21, с. 292] была доказана оптимальность этого критерия среди всех других возможных последовательных критериев, а именно: среди всех критериев, различающих гипотезы (9.13) с ошибками первого и второго рода, не превосходящими заданных величин, соответственно критерий (9.15)-(9.16) требует наименьшего среднего числа наблюдений как в условиях справедливости гипотезы так и в условиях справедливости гипотезы . А. Вальд предполагал [21, с. 15], что его критерий примерно в два раза выгоднее (по затратам на наблюдения), чем наилучший из классических критериев — критерий Неймана — Пирсона. Однако в 1959 г. С. А. Айвазяном были получены асимптотически (по сближению различаемых гипотез) точные формулы для [4, с. 89]:

— «расстояние» между различаемыми гипотезами (см. § 9.4), что с учетом формулы (9.14) позволило сравнить оптимальные свойства критериев Вальда и Неймана — Пирсона:

В табл. 9.1 приводятся значения функции для наиболее употребительных величин ошибок первого и второго рода,

Таблица 9.1

(см. скан)

По данным таблицы видно, что практически коэффициент выгоды в наблюдениях в критерии Вальда по сравнению с критерием Неймана — Пирсона колеблется между двумя и тремя, хотя для некоторых сочетаний ошибок он может быть существенно большим (можно показать, в частности, что