5.6. Основные числовые характеристики случайных величин и их выборочные аналоги

Итак, исчерпывающие сведения об интересующем нас законе распределения вероятностей можно задать и в виде полигона вероятностей (в дискретном случае), и в виде функции распределения (в общем случае), и в виде функции плотности (в непрерывном случае). Однако при практическом изучении генеральной совокупности зачастую оказывается достаточной

гораздо более скромная информация в виде нескольких числовых характеристик распределения, позволяющих оценить такие его свойства, как центр группирования значений исследуемой случайной величины, мера их случайного рассеивания, степень взаимозависимости различных компонент изучаемого многомерного признака. Так, например, при изучении закона распределения заработной платы работников интересуются в первую очередь средней заработной платой и одной из мер ее случайного рассеивания — коэффициентом дифференциации или дисперсией. К тому же подавляющее большинство используемых в статистических приложениях модельных законов распределения (биномиальный, пуассоновский, Парето, нормальный, логарифмически-нормальный, экспоненциальный и др., см. гл. 6) может быть однозначно восстановлено по одной-двум своим числовым характеристикам, например по среднему значению и дисперсии.

5.6.1. Понятие о математических ожиданиях и моментах.

Будем рассматривать различные функции от исследуемой случайной величины (если — одномерная случайная величина, то возможен, естественно, частный случай ). Очевидно, и функция будет случайной величиной, так как она тоже является в конечном счете функцией, определенной на множестве элементарных событий . Результат операции «осреднения» случайной величины произведенной с учетом «взвешивания», отвечающего заданному распределению вероятностей случайной величины носит название математического ожидания и обозначается . Итак:

если — непрерывная (может быть, и многомерная) случайная величина с плотностью (совместной) вероятности , то

(интегрирование производится по области всех возможных значений признака );

если дискретная случайная величина с возможными значениями и вероятностями их осуществления то

Эмпирическим (т. е. построенным по выборке ) аналогом математического ожидания функции будет величина

В основе объяснения всякого перехода от теоретических характеристик, т. е. характеристик, вычисляемых на базе точного знания исследуемого закона распределения, к эмпирическим (или выборочным) лежит интерпретация выборки как уменьшенной модели генеральной совокупности, в которой возможными значениями являются наблюденные (т. е. практически реализованные) значения , а в качестве вероятностей их осуществления берутся соответствующие относительные частоты их появления в выборке, т. е. величины, равные

Важную роль в теории и практике статистических исследований играют функции некоторого специального вида: . Математические ожидания функции носят названия соответственно начальных и центральных моментов k-го порядка случайной величины .

Итак, если для некоторого целого положительного числа k функция интегрируема с весами (суммируема с весами ) на области возможных значений , то величина

называется начальным моментом порядка или просто моментом этого распределения или соответствующей ему

случайной величины и мы говорим, что момент конечен или существует.

Очевидно, что если существует момент тк, то существует и центральный момент

Раскрывая под знаком интеграла (или суммы), легко установить связи, существующие между центральными и начальными моментами:

(ограничиваемся здесь первыми четырьмя моментами).

Эмпирические аналоги начальных и центральных моментов или выборочные моменты легко получаются из (5.20) и (5.21) с учетом (5.19):

Наконец, при исследовании поведения многомерных случайных величин важную роль играют -мерные векторные функции компонентами которых являются всевозможные попарные произведения центрированных компонент вектора , т. е. элементы матрицы

где

Математические ожидания элементов принято называть смешанными вторыми моментами или ковариациями многомерного признака 1, а матрицу

составленную из ковариаций

ковариационной матрицей признака

По определению, все ковариационные матрицы являются симметричными (т. е. всегда ); нетрудно показать, что они являются и нейтрицательно-определенными. Действительно, беря последовательность любых действительных чисел и учитывая тот факт, что неотрицательная величина — может быть представлена как квадратичная форма мы получаем доказательство неотрицательной определенности матрицы 2.