3.5.3. Обобщение линейных моделей»

Опишем два наиболее актуальных, в прикладном плане, ослабления модельных. ограничений, принятых в модели (3.5) — (3.6). Эти ослабления позволяют сделать модель более реалистичной.

1. Функция, с помощью которой описывается зависимость отклика у от объясняющих факторов X, нелинейна относительно параметров Это означает, 410 исследуемый наблюдаемый признак у есть некоторая функция от сопутствующих (объясняющих) наблюдаемых переменных и неизвестных параметров т. е.

На вектор случайных ошибок накладываются ограничения типа (3.6). Эти модели широко используются там, где есть содержательные (экономические, физические, химические и др.) соображения о механизме явления и этот механизм нелинеен. При анализе моделей типа (3.9) обычно линеаризуют в окрестности ожидаемых значений 0 и исследуют затем получившуюся линейную модель методом наименьших квадратов (см. § 8.6).

2. Дисперсия отклика зависит от оцениваемых параметров. Это ослабление модельных ограничений подобно предыдущему также возникает обычно из содержательных соображений. Для оценки параметров чаще всего используется метод максимального правдоподобия (см. п. 8.6.1.).

Система уравнений максимального правдоподобия решается итеративно путем последовательных линеаризаций. При проведении очередной итерации вес наблюдений рассматривается как заданный, определяемый значением параметров на предыдущем шаге.

В линейных моделях матрица плана X рассматривается как известная и фиксированная. Однако в некоторых областях статистических исследований, таких, как измерения траекторий в физике элементарных частиц, регистрация составляющих сложных химических реакций и др., значения объясняющих переменных X нельзя фиксировать строго и их приходится рассматривать как неизвестные средние регистрируемых случайных величин, значения которых меняются в соответствии с некоторым распределением от одного элементарного измерения к другому. В этих условиях противопоставление в модели независимых переменных х и зависимых у становится нецелесообразным. Обе последовательности рассматриваются как случайные, они как бы сливаются с точки зрения методического подхода к их трактовке. Соответствующие модели, следуя Фришу, называют конфлюентными, а методы их изучения — конфлюентным анализом.

Простейшая конфлюентная модель имеет вид: наблюдаются пары причем известно, что

где — неизвестные истинные значения переменных; а и b — неизвестные искомые параметры, описывающие связь между переменными взаимно независимые случайные ошибки, нормально распределенные с нулевым средним и известными дисперсиями.

Иногда, исходя из (3.10), конфлюентный анализ называют анализом структурных отношений.