Глава 6. МОДЕЛИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, НАИБОЛЕЕ РАСПРОСТРАНЕННЫЕ В ПРАКТИКЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИИ

Говоря о распространенности той или иной модели распределения в практике статистических исследований, следует иметь в виду две возможные роли, которые эта модель может играть. Первая из них заключается в адекватном описании механизма исследуемого реального процесса, индуцирующего подлежащую статистическому анализу генеральную совокупность. В этом случае выбранная по тем или иным соображениям (или выведенная теоретически) модель описывает закон распределения вероятностей непосредственно анализируемой и имеющей четкую физическую интерпретацию случайной величины (заработной платы работника, дохода семьи, числа сбоев автоматической линии в единицу времени, числа дефектных изделий, обнаруженных в проконтролированной партии заданного объема, и т. д.). Подходы к построению таких моделей, методы их анализа и обоснования относятся к области «реалистического» (или содержательного) моделирования (см. гл. 3).

Другая роль широко распространенных в статистических исследованиях моделей — использование их как вспомогательное техническое средство при реализации методов статистической обработки данных. С помощью моделей этого типа описываются распределения вероятностей некоторых вспомогательных функций от исследуемых случайных величин, используемых для построения разного рода статистических оценок и статистических критериев (о способах построения оценок и критериев см. § 8.1-8.6, 9.1-9.6). К распределениям этого типа относятся в первую очередь распределения «хи-квадрат», Стьюдента (-распределение) и -распределение.

Зтой условной классификации распределений мы и будем придерживаться при изложении содержания данной главы.

6.1. Законы распределения, используемые для описания механизмов реальных процессов или систем

6.1.1. Распределения, возникающие при анализе последовательности испытаний Бернулли: биномиальное и отрицательное биномиальное.

Широкий класс случайных

величин, которые приходится изучать в практике статистических исследований, индуцируется последовательностью независимых случайных экспериментов следующего типа: в результате реализации каждого случайного эксперимента (наблюдения) некоторое интересующее нас событие А может произойти (с некоторой вероятностью ) или не произойти (соответственно с вероятностью при многократном (-кратном) повторении этого эксперимента вероятность осуществления события А остается одной и той же, а наблюдения, составляющие эту последовательность экспериментов, являются взаимно независимыми. Серию экспериментов подобного типа принято называть последовательностью испытаний Бернулли. Можно описать эту последовательность в терминах случайных величин, сопоставляя с по счету экспериментом данной последовательности случайную величину

Тогда «бернуллиевость» последовательности означает, что причем случайные величины статистически независимы (определение статистической независимости случайных величин см. в п. 5.5.3).

При определенных (как правило, приблизительно соблюдающихся на практике) условиях в схему испытаний Бернулли хорошо укладываются такие случайные эксперименты, как бросание монеты или игральной кости, проверка (по альтернативному признаку) изделий массовой продукции, обращение к «обслуживающему устройству» (с исходами «свободен — занят»), попытка выполнения некоторого задания исходами «выполнено — не выполнено»), стрельба по цели (с исходами «попадание — промах») и т. п.

«Единичное» испытание Бернулли можно интерпретировать и как извлечение объекта из бесконечной генеральной совокупности, в которой доля объектов обладает некоторым интересующим нас свойством. Тогда интересующее нас событие А заключается в том, что при этом извлечении мы «вытащим» один из объектов, обладающих упомянутым свойством.

Биномиальный закон описывает распределение случайной величины т. е. числа появления интересующего нас события в последовательности из независимых

зависимых испытаний, когда вероятность появления этого события в одном испытании равна .

Из определения биномиальной случайной величины следует, что ее возможными значениями являются все целые неотрицательные числа от нуля до т. Для вывода вероятностей рассмотрим внимательнее пространство элементарных событий, порожденное последовательностью испытаний Бернулли. Очевидно, каждому элементарному событию (о соответствует последовательность из нулей и единиц длины

Разобьем эти последовательности на классы, включая в один класс все последовательности типа (6.2), содержащие одинаковое число единиц:

Имея в виду, что число элементарных событий в классе с номером равно (поскольку единиц можно разместить на местах различными способами), а также тот факт, что вероятность осуществления любого элементарного исхода, входящего в класс с номером равна, как нетрудно подсчитать, величине получаем

Это и есть формула (аналитическая запись, модель) биномиального закона распределения. Подсчет его основных числовых характеристик (который в данном случае легче реализовать, не используя прямые формулы типа (5.21), а опираясь на соотношение взаимную независимость h и простоту вычисления их моментов) дает:

Биномиальное распределение широко, используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях практической деятельности.

Отрицательный биномиальный закон описывает распределение случайной величины определяемой испытаниями Бернулли (см. (6.1)) следующим образом:

Другими словами, — это число испытаний в схеме Бернулли (с вероятностью появления интересующего нас события в результате проведения одного испытания) до появления интересующего нас события (включая последнее испытание). Нетрудно вывести аналитический вид распределения случайной величины . Зафиксируем любое ее возможное значение . Из того, что при числе испытаний впервые осуществилось заданное число k появлений интересующего нас события, следует, что на предыдущем

шаге, т. е. при числе испытаний, равном мы имели появлений того же события. Следовательно, опираясь на теорему умножения вероятностей, мы можем записать:

Название данного закона объясняется тем, что правые части (6.4) являются последовательными членами разложения бинома с отрицательным показателем:

Основные числовые характеристики закона:

Модель отрицательного биномиального распределения применяется в статистике несчастных случаев и заболеваний, в задачах, связанных с анализом количеств индивидуумов данного вида в выборках из биологических совокупностей, в задачах оптимального резервирования элементов, в теории стрельбы.