7.2. Свойство статистической устойчивости выборочных характеристик: закон больших чисел и его следствия

Давно было замечено, что результаты отдельных наблюдений (будь то экономические, демографические, физические, метеорологические или иные наблюдения), хотя и произведенных в относительно однородных условиях, колеблются сильно, в то время как средние из большого числа наблюдений обнаруживают замечательную устойчивость. К такого рода выборочным средним относятся и все введенные нами выше эмпирические (т. е. построенные по выборке) характеристики: как выборочные моменты (начальные и центральные) — см. § 5.6, так и эмпирические функция распределения функция плотности и относительные частоты — см. § 5.5 (при интерпретации ) в качестве выборочных средних нужно лишь помнить о возможности их выражения в терминах сумм случайных величин где авно 1 и 0 в зависимости от того, попало или нет наблюдение в заранее определенную нами область возможных значений, см. ниже

Математическим основанием этого факта служат различные формы так называемого закона больших чисел. Формулировку первого частного варианта этого закона связывают с именем французского математика С. Д. Пуассона (Роissоп S. D. Recherches sur la probabilite de jugements en matiere criminelle et en matiere civile..., Paris, Gauthier —Villars, 1837). В формулировке, приведенной ниже, этот закон был впервые доказан А. Я. Хинчиным

(см. Нintсhin A. Sur la loi des grands nombres Comptes rendus de Г Academie des Sciences, 189 (1929), 477—479).

7.2.1. Закон больших чисел.

Пусть — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Если среднее значение существует, то среднее арифметическое случайных величин по мере неограниченного роста числа слагаемых (т. е. при ) сходится по вероятности к этому теоретическому среднему значению а, т.е. для любых сколь угодно малых положительных величин наступает такой «момент» начиная с которого (т. е. при всех ) будет справедливо неравенство

Доказательство этого утверждения не вызывает затруднений, если дополнительно потребовать существования конечной дисперсии случайных слагаемых т. е. существования Действительно, в этом случае для доказательства (7.3) достаточно воспользоваться неравенством Чебышева (7.2) применительно к случайной величине Легко подсчитываются и, следовательно, в соответствии с (7.2)

Выбрав мы, как легко видеть, обеспечим выполнение (7.3) при любых заданных значениях ,

Доказательство (7.3) в общем случае можно найти, например, в [831.

В качестве следствия закона больших чисел рассмотрим следующий важный результат, объясняющий эффект устойчивости относительных частот.