7.2. Свойство статистической устойчивости выборочных характеристик: закон больших чисел и его следствия
Давно было замечено, что результаты отдельных наблюдений (будь то экономические, демографические, физические, метеорологические или иные наблюдения), хотя и произведенных в относительно однородных условиях, колеблются сильно, в то время как средние из большого числа наблюдений обнаруживают замечательную устойчивость. К такого рода выборочным средним относятся и все введенные нами выше эмпирические (т. е. построенные по выборке) характеристики: как выборочные моменты (начальные и центральные)
— см. § 5.6, так и эмпирические функция распределения
функция плотности
и относительные частоты
— см. § 5.5 (при интерпретации
) в качестве выборочных средних нужно лишь помнить о возможности их выражения в терминах сумм случайных величин
где
авно 1 и 0 в зависимости от того, попало или нет наблюдение
в заранее определенную нами область возможных значений, см. ниже
Математическим основанием этого факта служат различные формы так называемого закона больших чисел. Формулировку первого частного варианта этого закона связывают с именем французского математика С. Д. Пуассона (Роissоп S. D. Recherches sur la probabilite de jugements en matiere criminelle et en matiere civile..., Paris, Gauthier —Villars, 1837). В формулировке, приведенной ниже, этот закон был впервые доказан А. Я. Хинчиным
(см. Нintсhin A. Sur la loi des grands nombres Comptes rendus de Г Academie des Sciences, 189 (1929), 477—479).
7.2.1. Закон больших чисел.
Пусть
— последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Если среднее значение
существует, то среднее арифметическое случайных величин
по мере неограниченного роста числа слагаемых (т. е. при
) сходится по вероятности к этому теоретическому среднему значению а, т.е. для любых сколь угодно малых положительных величин
наступает такой «момент»
начиная с которого (т. е. при всех
) будет справедливо неравенство
Доказательство этого утверждения не вызывает затруднений, если дополнительно потребовать существования конечной дисперсии случайных слагаемых
т. е. существования
Действительно, в этом случае для доказательства (7.3) достаточно воспользоваться неравенством Чебышева (7.2) применительно к случайной величине
Легко подсчитываются
и, следовательно, в соответствии с (7.2)
Выбрав
мы, как легко видеть, обеспечим выполнение (7.3) при любых заданных значениях
,
Доказательство (7.3) в общем случае можно найти, например, в [831.
В качестве следствия закона больших чисел рассмотрим следующий важный результат, объясняющий эффект устойчивости относительных частот.