7.2.3 Статистическая устойчивость выборочных характеристик.
Закон больших чисел и теорема Я. Бернулли
позволяют теоретически обосновать устойчивость основных эмпирических характеристик распределения — среднего значения, дисперсии, асимметрии, эксцесса, функции распределения и плотности, построенных по выборке
При этом, как всегда, когда речь идет об исследовании выборочных характеристик, мы, во-первых, подразумеваем, что имеем дело с выборкой, состоящей из независимых наблюдений, и, во-вторых, интерпретируем выборку во втором, гипотетическом смысле — как совокупность независимых наблюдений, которые могли бы быть произведены над анализируемой случайной величиной (см. сноску в п. 5.6.4). При такой интерпретации наблюдения
суть независимые и одинаково распределенные случайные величины и к ним применимы результаты (7.3) и (7.3). Покажем, как из закона больших чисел и теоремы Я. Бернулли можно получить статистическую устойчивость основных выборочных характеристик.
а. Устойчивость выборочных начальных моментов
и любых рациональных функций от них. Пусть существуют все моменты
для заданного порядка
исследуемой случайной величины Тогда, применяя закон больших чисел к случайным величинам
, где
— результат t-го наблюдения исследуемого признака, мы немедленно получаем доказательство сходимости по вероятности всех выборочных начальных моментов
к соответствующим теоретическим моментам
Непосредственно применить закон больших чисел к центрированным наблюдениям
нельзя, так как после центрирования наблюдения становятся зависимыми.
Однако воспользовавшись теоремой Е. Е. Слуцкого о том, что из сходимости (при
) по вероятности случайных величин
к некоторым постоянным числам
следует сходимость по вероятности любой рациональной функции
к ее значению в точке
, т. е. к величине
(если последняя существует), мы немедленно получаем доказательство сходимости по вероятности всех
интересующих нас выборочных Центральных моментов, асимметрии и эксцесса к соответствующим теоретическим значениям (если таковые существуют). При этом, конечно, мы учитываем, что центральные моменты, асимметрия и эксцесс являются рациональными функциями от начальных моментов (см. соотношения (5.22)).
б. Устойчивость эмпирических функций распределения и плотности и относительных частот, т. е. их сходимость (при неограниченном увеличении объема выборки, по которой они построены) к соответствующим теоретическим функциям и вероятностям следует непосредственно из (7.3) и (7.3). Продемонстрируем это на примере эмпирической функции распределения
Введем в рассмотрение случайные величины (7.4), где событие А мы определяем как
, т. е.
Очевидно,
— независимые, одинаково распределенные случайные величины, причем
, где
— функция распределения исследуемой случайной величины
.
Легко видеть, что
, и, следовательно, в соответствии с законом больших чисел
(по вероятности), когда