9.3.2. Проверка простой гипотезы с помощью критерия логарифма отношения правдоподобия.

Пусть известно, что ряд наблюдений можно рассматривать как независимую выборку из распределения, принадлежащего семейству распределений где -мерный параметр. Требуется проверить гипотезу о том, что (гипотеза п. 9.1.3). Рассмотрим критерий

где — оценка (введенная в п. 8.6.1) максимального правдоподобия (ОМП) параметра по выборке При наложении на семейство и на значение дополнительных требований, гарантирующих оптимальные свойства оценок максимального правдоподобия (см. п. 8.6.1), величина имеет асимптотически (при ) -распределение с k степенями свободы (см. п. 6.2.1).

В качестве примера применения критерия рассмотрим еще раз задачу проверки гипотезы о среднем значении нормальной совокупности, приведенную в п. 9.3.1. В введенных там обозначениях с учетом того, что оценка максимального правдоподобия параметра имеем:

Поскольку нормально распределено со средним и дисперсией имеет -распределение с одной степенью свободы.

В качестве второго примера рассмотрим задачу проверки гипотезы о значениях параметров полиномиального распределения, введенного в п. 6.1.4. Учитывая, что оценками максимального правдоподобия для параметров являются отношения (см. п. 8.6.1), получаем, что

имеет асимптотически -распределение с степенями свободы.