5.6.3. Характеристики степени рассеяния случайной величины.

Каждая из описанных ниже характеристик степени рассеяния — дисперсия, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации — дает представление о том, как сильно могут отклоняться от своего центра группирования значения исследуемой случайной величины. Если говорить о форме кривой плотности, то эти характеристики описывают степень ее «размазанности» по всему диапазону изменения чем больше величина каждой из этих характеристик, тем более «размазанным» выглядит соответствующее распределение (рис. 5.9.).

Дисперсия случайной величины определяется как ее второй центральный момент, т. е.

Эмпирическую (выборочную) дисперсию можно рассматривать как приближенное значение теоретической дисперсии:

Рис. 5.9. График плотностей (нормальных законов распределения) с различными значениями дисперсии и с одинаковым (нулевым) средним значением

Из определения дисперсии (и из свойств математического ожидания) можно вывести следующие ее свойства:

а) (с — некоторая неслучайная величина);

в) (а и b — некоторые неслучайные величины);

г) в случае, когда являются взаимно независимыми.

Часто для обозначения дисперсии используют греческую букву «сигма» (в квадрате), т. е. записывают

Среднеквадратическое отклонение получается из дисперсии извлечением квадратного корня Оно используется наряду с дисперсией для характеристики степени рассеивания случайной величины и оказывается в ряде случаев более удобным и естественным, в первую очередь из-за своей однородности (в смысле единиц измерения) с различными характеристиками центра группирования.

Выборочное (эмпирическое) значение среднеквадратического отклонения имеет вид

Коэффициент вапиации используется в тех случаях, когда степень рассеивания естественнее описывать некоторой относительной характеристикой в сопоставлении со средним. В частности,

т. е. коэффициент вариации — это отношение (в процентах) среднеквадратического отклонения к соответствующему математическому ожиданию. Из определения ясно, что — величина безразмерная. Соответствующая эмпирическая характеристика подсчитывается по формуле