11.2.6. Критерии проверки симметрии распределений.

Задача проверки симметрии распределений возникает при анализе остатков регрессионных моделей, в дисперсионном анализе и устойчивом оценивании. Рассмотрим критерии для проверки гипотезы симметрии относительно фиксированной точки Будем предполагать, что распределение имеет, непрерывную плотность . Тогда гипотезу симметрии можно записать в виде

    (11.37)

и в терминах функции распределения

    (11.38)

Гипотеза (11.37) утверждает, что плотность распределения симметрична и центром симметрии является точка

Непараметрические критерии для проверки гипотезы симметрии основаны на использовании абсолютных рангов (относительно точки ).

Пусть — выборка из распределения, для которого проверяется гипотеза (11.37), (11.38). Введем теперь преобразованные наблюдения

    (11.39)

и образуем из них вариационный ряд . Ранг величины в этом ряду называется абсолютным рангом (относительно точки ) и будет обозначаться через

Такое преобразование сводит задачу проверки гипотезы симметрии к задаче проверки гипотезы однородности двух распределений, образованных соответственно левым и правым (относительно ) «хвостами» исходного распределения.

Пусть есть множество индексов тех наблюдений для которых , т. е. если , то . Рассмотренные ниже критерии являются аналогами ранговых критериев однородности, введенных в п. 11.2.3.

Одновыборочный критерий Вилкоксона 1 использует статистику

Для математического ожидания и дисперсии имеем в случае истинности нулевой гипотезы:

Критерий Фрэзера — Клотца (критерий нормальных меток) основан на статистике

где — математическое ожидание порядковой статистики в вариационном ряду длины который образован абсолютными значениями случайных величин имеющих стандартное нормальное распределение.

Имеем в случае нулевой гипотезы:

    (11.43)

Аналог критерия Ван дер Вардена асимптотически подобен критерию Фрэзера — Клотиа. Статистика этого критерия имеет вид [23]

    (11.44)

с математическим ожиданием и дисперсией

где — обратная функция стандартного нормального распределения.

Все введенные ранговые критерии имеют асимптотически нормальное распределение с параметрами, задаваемыми формулами (11.41), (11.43), (11.45) соответственно. Применение этих критериев сводится к последовательности следующих шагов.

1. Из членов исходной выборки образуется новая выборка .

2. Величины упорядочиваются в порядке возрастания

3. Определяются ранги в ряду соответствующие нормам исходных наблюдений, для которых разность

4. Вычисляется статистика критерия согласно формулам (11.40), (11.42) или (11.44).

5. Вычисляется величина

6. Гипотеза симметрии отвергается, если величина слишком велика, точнее, если выполняется одно из неравенств или где а — заданный уровень значимости нулевой гипотезы. Таким образом, для

критериев симметрии (11.40), (11.42), (11.44) критическая область является двусторонней.

Часто гипотетический центр симметрии неизвестен и в качестве точки для проверки гипотезы (11.37), (11.38) используют ту или иную оценку параметра положения, например среднее арифметическое, медиану или какую-либо устойчивую оценку параметра положения (см. гл. 10). В этой ситуации применение непараметрических критериев, рассмотренных выше, будет носить уже приближенный характер.