Аналог критерия Ван дер Вардена асимптотически подобен критерию Фрэзера — Клотиа. Статистика этого критерия имеет вид [23]
(11.44)
с математическим ожиданием и дисперсией
где
— обратная функция стандартного нормального распределения.
Все введенные ранговые критерии имеют асимптотически нормальное распределение с параметрами, задаваемыми формулами (11.41), (11.43), (11.45) соответственно. Применение этих критериев сводится к последовательности следующих шагов.
1. Из членов исходной выборки
образуется новая выборка
.
2. Величины
упорядочиваются в порядке возрастания
3. Определяются ранги в ряду
соответствующие нормам исходных наблюдений, для которых разность
4. Вычисляется статистика критерия
согласно формулам (11.40), (11.42) или (11.44).
5. Вычисляется величина
6. Гипотеза симметрии отвергается, если величина
слишком велика, точнее, если выполняется одно из неравенств
или
где а — заданный уровень значимости нулевой гипотезы. Таким образом, для
критериев симметрии (11.40), (11.42), (11.44) критическая область является двусторонней.
Часто гипотетический центр симметрии неизвестен и в качестве точки
для проверки гипотезы (11.37), (11.38) используют ту или иную оценку параметра положения, например среднее арифметическое, медиану или какую-либо устойчивую оценку параметра положения (см. гл. 10). В этой ситуации применение непараметрических критериев, рассмотренных выше, будет носить уже приближенный характер.