10.4.6. Параметризация с помощью экспоненциально взвешенных оценок (ЭВ-оценки).
Если в формулах (10.23), (10.24) положить
где К — малый параметр, то мы придем к однопараметрическому классу оценок, предложенных Л. Д. Мешалкиным в 1970 г. Это удобные, устойчивые к несимметричным засорениям оценки, допускающие простую вероятностную интерпретацию и обобщение на многомерный случай. В последние годы они интенсивно изучались [56, 89, 90, 128] и для них построена асимптотическая теория для нормальных распределений в многомерном случае и для негауссовских распределений в одномерном. Наглядная геометрическая интерпретация ЭВ-оценок и простота вычислительных процедур позволили перенести их на задачи многомерной геометрии [49] и регрессии [58].
Изложение начнем с вероятностной интерпретации ЭВ-оценок. С помощью цепочки определений каждому многомерному распределению будет указан наиболее близкий к нему нормальный закон и параметры этого закона будут приняты за параметры исходного распределения. Пусть
— любое выпуклое множество в
и
— расстояние между распределениями F и
Определение 1. Пусть
— весовая функция, тогда вектор
и матрицу
где
будем называть
-взвешенным средним и
-взвешенной ковариационной матрицей.
Определение 2. Распределения, имеющие общие
-взвешенные ковариационные матрицы, будем называть
-подобными.
Концепция
-подобия дает возможность связать произвольное распределение F с
-подобным ему нормальным
законом N и использовать первые и вторые моменты N при описании F. Выбор весовой функции существенно зависит от решаемой задачи. При задаче описания центральной части распределения весовую функцию естественно связать с плотностью
-подобного нормального закона.
Определение 3. Пусть
— плотность в точке X нормального закона N с вектором средних М и ковариационной матрицей 2. Будем называть закон
-связанным (или короче -связанным) с F, если он
-подобен F и
Последнее условие введено для того, чтобы гарантировать при малых С единственность
-связанного с F нормального закона, так как в общем случае может быть несколько
-подобных F нормальных законов.
Определение 4. Пусть N —
-связанный с F нормальный закон. Вектор средних и ковариационную матрицу N будем называть -средним и -ковариационной матрицей
Из этих определений, в частности, следует, что для любого нормального закона его
-моменты совпадают с обычными моментами.
Пусть
— множество всех
-мерных невырожденных, т. е. не сосредоточенных в подпространстве меньшей, чем
, размерности нормальных распределений и
— множество всех распределений F, для которых
Обращаясь к работам [56, 89], можно показать, что для любого
существуют такие
что для любого
1) существует одно и только одно
-связанное с F нормальное распределение;
2)
-среднее (MF) и
-ковариационная матрица
— непрерывные функции F (в смысле
-расстояния);
3) при линейном преобразовании переменных Переднее и
-ковариационная матрица F меняются так же, как соответствующие моменты нормального закона;
4) -моменты удовлетворяют системе уравнений
(10.21)
Выборочные свойства
-моментов в одномерном случае иллюстрируются в табл. (10.4) [57], где даны оценки
-среднего и Х-дисперсии по ста выборкам объема 1001. Как видно по данным таблицы, введение весовой функции в нормальном случае несколько ухудшает свойства оценок, но зато в случае «засоренного» распределения не только уменьшает смещение оценок, но и улучшает выборочные свойства оценок
Таблица 10.4
На практике можно рекомендовать выбирать значения X в зависимости от объема выборки и размерности выборочного пространства
так, чтобы, с одной стороны, взвешивание «гасило» большие отклонения, а, с другой стороны, потеря эффективности от взвешивания не была бы чрезмерной.
Взвешенные оценки с произвольным выбором весов рассматриваются в [126].