11.1.2. Проверка нормального характера распределения по асимметрии, эксцессу и средним отклонениям.

Для приближенной проверки нормальности исследуемой случайной величины по результатам ее наблюдения можно воспользоваться некоторыми характерными свойствами нормального распределения. В частности, как известно, в случае нормального распределения характеристики асимметрии и эксцесса должны быть нулевыми (т. е. ), а среднее абсолютное отклонение связано со средним квадратичным отклонением соотношением (см. п. 6.1.5).

Поскольку практически мы имеем дело лишь с приближенными, выборочными значениями асимметрии эксцесса средних абсолютного и квадратического отклонений, которые подвержены некоторому неизбежному

неконтролируемому разбросу, то мы не можем требовать точного выполнения соотношений

Однако исходя из нормального характера распределения исследуемой случайной величины можно вывести и затабулировать законы распределения для (или для некоторых, подходящих для наших целей их комбинаций) и тем самым определить степень «допустимых» (в пределах нормальности ) отклонений от (11.3), (11.4) или от соотношений, построенных на основании (11.3) и (11.4). Рассмотрим три варианта приближенной проверки нормальности, основанной на вышеупомянутых свойствах и а.

1. Для проверки нормального характера распределения по асимметрии и отношению средних отклонений в случае сравнительно небольших объемов выборок () целесообразно воспользоваться наличием таблиц для вычисления (по данным входным параметрам Q и ) точных значений -ных точек распределения статистик . В частности, процедура проверки нормальности в данном случае будет следующей: по формуле (5.33) вычисляем значение величину подсчитываем по формуле

Задавшись для одйим из значений 0,01 или 0,05 и принимая во внимание объем выборки , по табл. 4.76 из [16] находим величину -ной точки ; задавшись для одним из значений 0,01, 0,05 или 0,10 и принимая во внимание объем выборки , по табл. 4.7 а из [16] находим величины -ной точки -ной

точки ; если хотя бы одно из неравенств

оказалось нарушенным, то гипотеза нормальности отвергается с уровнем значимости а, подчиняющимся неравенствам:

2. Для проверки нормального характера распределения по асимметрии и эксцессу в случае умеренно больших объемов выборок (), наряду с уже упоминавшейся табл. 4.76 из [16], можно воспользоваться таблицами точных процентных точек распределения выборочного коэффициента эксцесса. Для этого следует вычислить величину выборочного коэффициента асимметрии по формуле (5.33); задавшись или 0,05, найти величину -ной точки из таблицы; вычислить величину выборочного коэффициента эксцесса по муле (5.34); задавшись или 0,05, найти величины -ной точки -ной точки по табл. 4.7 в из [16]. Если хотя бы одно из неравенств

оказалось нарушенным, то гипотезу нормальности исследуемого распределения следует отвергнуть с уровнем значимости а, оцениваемым с помощью неравенств (11.5).

3. Для проверки нормального характера распределения по асимметрии и эксцессу в случае достаточно больших объемов выборок ( порядка ) целесообразно воспользоваться приближенной (асимптотической по ) нормальностью распределения выборочных коэффициентов асимметрии () и эксцесса . Однако следует учитывать, что сходимость распределения к нормальному крайне медленная: даже при равном нескольким сотням, можно зафиксировать существенную разницу между точными значениями процентных точек распределения полученными с помощью табл. 4.7 в из [16], и приближенными значениями тех же процентных точек, вычисленных исходя из ) нормального приближения для распределения . Это, в частности, является причиной слишком грубых результатов проверки нормальности распределения по асимметрии и эксцессу, когда при сравнительно небольших для нахождения процентных точек распределений используют их приближенную нормальность.

Итак, если объем выборки достаточно велик (порядка 103), то можно использовать следующую процедуру проверки нормальности распределения исследуемой случайной величины по результатам ее наблюдения по формулам (5.33) и (5.34) подсчитываются выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса среднеквадратические отклонения выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам (см. [39]):

для заданного близкого к единице (например, ), находят с помощью таблицы величину - квантиля нормального распределения;

если хотя бы одно из неравенств

окажется нарушенным то гипотеза о нормальном характере распределения случайной величины отвергается с уровнем значимости а, оцениваемым с помощью (11.5), где

Возможны различные модификации рассмотренного критерия нормальности, в частности использование некоторой одномерной статистики вида

где — некоторые положительные коэффициенты, зависящие от . Так, например, к статистике вида мы придем, если в качестве меры отклонения исследуемой эмпирической плотности распределения от теоретической нормальной плотности рассмотреть непрерывный аналог статистики в критерии согласия

где Чтобы от прийти к ее приближенному выражению вида надо воспользоваться разложением в ряд Эджворта (см. [48, п. 17.7]), ограничившись первыми тремя его членами. Однако точные распределения (при каждом фиксированном ) статистик вида не вычислены, а использование аппроксимаций, основанных на асимптотической нормальности дает слишком грубые результаты.