на подборе таких функций и
к переменных и таких не зависящих от 0 нормирующих констант
, что распределение статистик типа
или
может быть точно описано (например, с помощью одного из стандартных затабулированных законов, см. п. 6.1.5, 6.2.1, 6.2.6) и не зависит от неизвестного параметра
В качестве примера рассмотрим задачу интервального оценивания параметров а и
нормальной генеральной совокупности (см. пример 8.3 в п. 8.6.1).
Как известно (см. п. 6.2.2), статистика
подчинена закону распределения Стьюдента с
степенями свободы (в данном случае функция
)
, а нормирующая константа
Поэтому, определив из таблиц по заданной вероятности Р процентные точки уровня
-распределения с
степенями свободы (т. е.
-про-центную точку
) и
-процентную точку
причем в силу симметрии распределения
см. п. 5.6.5), мы можем утверждать, что неравенство
выполняется с вероятностью
. А это означает, что случайный доверительный интервал
накрывает неизвестное среднее значение а с заданной вероятностью Р.
Для построения интервальной оценки параметра
воспользуемся тем фактом, что статистика — подчинена
-квадрат распределению с
степенями свободы (см. п. 6.2.1). Таким образом, в данном случае функция
а нормирующая константа
. Поэтому, определив из таблиц процентные точки
-распределения с
степенями свободы:
где, как и прежде,
, а Р — заданная доверительная вероятность, имеем неравенство
которое выполняется с вероятностью
. А это означает, что случайный доверительный интервал
накрывает неизвестное значение дисперсии
с заданной вероятностью
.
Второй подход к построению доверительных, областей более прост и универсален, однако он основан на асимптотических свойствах оценок, а поэтому дает приближенные результаты и пригоден лишь при достаточно больших объемах выборок п. Этот подход использует тот факт (см. § 8.4), что как оценки максимального правдоподобия, так и оценки по методу моментов имеют асимптотически-нормальное совместное распределение, т. е. распределение
-мерного вектора
стремится к многомерному нормальному закону с нулевым вектором средних значений и с ковариационной матрицей 2 (0), зависящей от неизвестного параметра
При этом приближенном подходе допускаются две «натяжки»: во-первых, асимптотический вид распределений случайной величины
используется при конечных объемах выборки
и, во-вторых, вместо неизвестного значения параметра
в матрицу
вставляется его оценочное значение
.
Теперь, для того чтобы построить доверительную область для неизвестного параметра
мы должны воспользоваться следующим известным фактом (см. [12, с. 77]): если
-мерный вектор
распределен нормально с параметрами
и
, то случайная
где элементы матрицы
определяются соотношениями (8.7).
Замечание 3. Положительная определенность и симметричность матрицы
обусловливают эллипсоидальный характер доверительного множества, задаваемого соотношением (8.42).
Пример 8.8. Рассмотрим задачу интервальной оценки по наблюдениям
параметра
биномиального закона (см. п. 6.1.1), т.е. закона распределения дискретной случайной величины
, определяемого вероятностями
где N — известное целое положительное число,
параметр, подлежащий оценке
Сначала в соответствии с техникой, описанной в п. 8.6.1, подсчитаем точечную оценку
максимального правдоподобия параметра
.
Логарифмическая функция правдоподобия в данном случае
Соответствующее уравнение максимального правдоподобия
Решая его относительно
, получаем оценку максимального правдоподобия:
Пользуясь независимостью
и тем фактом, что
(см. п. 6.1.1), имеем: