7.2.2. Теорема Я. Бернулли.
Пусть производится
независимых случайных экспериментов (или наблюдений случайной величины
), в результате каждого из которых может осуществиться или не осуществиться некоторое интересующее
нас событие А (например событие, заключающееся в том, что
, где
— заданная измеримая область возможных значений случайной величины
). Тогда при неограниченном увеличении числа экспериментов
относительная частота
появления события А сходится по вероятности к вероятности этого события
, т. е. для любых наперед заданных и сколь угодно малых положительных величин
наступит такой «момент» (в проведении эксперимента)
что для всех
будет справедливо неравенство
Доказательство этого утверждения получается из (7.3), если в качестве участвующих там случайных величин рассмотреть признаки
Из определения следует, что все эти случайные величины
имеют один и тот же закон распределения, в частности:
Очевидно, в этом случае
есть не что иное, как относительная частота
появления события
в
произведенных случайных экспериментах, причем
Применяя к случайным величинам (7.4) закон больших чисел (7.3), мы и получаем, с учетом (7.5) и (7.6), доказательство теоремы Я. Бернулли (7.3).