7.3.2. Многомерная центральная предельная теорема (см. [12, с. 105]).

Пусть — независимые и одинаково распределенные -мерные случайные величины с вектором средних значений и ковариационной матрицей Тогда при совместная функция распределения случайного вектора сходится (для любого значения векторного аргумента X) к совместной функции распределения -мерной нормальной случайной величины, имеющей вектор средних и ковариационную матрицу 2.

Замечание 1. Необходима известная осторожность при использовании центральной предельной теоремы в практике статистических исследований.

Во-первых, если предельный вид распределения суммы случайных слагаемых при определенных условиях всегда нормален и не зависит от вида распределения самих слагаемых, то скорость сходимости распределения суммы к нормальному закону существенно зависит от типа распределения исходных компонент. Так, например, при суммировании равномерно распределенных случайных величин уже при 6—10 слагаемых можно добиться достаточной близости к нормальному закону, в то время как для достижения той же близости при суммировании -распределенных слагаемых понадобится более 100 слагаемых.

Во-вторых, центральной предельной теоремой вообще не рекомендуется пользоваться для аппроксимации вероятностей на «хвостах» распределения, т. е. при оценке вероятностей событий вида где — возможные значения, близкие соответственно к левой и правой границам диапазона изменения исследуемого признака . Поскольку в этом случае числовые значения вероятностей

то из малости разностей вытекает из центральной предельной теоремы) вовсе не следует малость относительных ошибок аппроксимации

которые, как правило, оказываются чрезмерно большими. Так, например, пусть — нормированный среднедушевой доход в семье (соответственно — заработная плата работающих членов семьи и другие составляющие семейного дохода) и пусть нас интересует доля q семей с очень высоким доходом, а именно с доходом, не меньшим некоторого достаточно высокого уровня . Исследования показали, что точное значение этой доли в то время как соответствующая нормальная аппроксимация дала результат . Разность сама по себе мала (как и следует из центральной предельной теоремы), однако относительная погрешность нормальной аппроксимации в данном случае составляет десятикратную величину, т. е. . Особенно важным это предостережение оказывается при попытках использования нормальных аппроксимаций в задачах расчета зависимостей типа «предельная прочность (или пропускная способность) системы — вероятность разрушения (отказа в обслуживании)».

Замечание 2. Центральная предельная теорема позволяет проследить асимптотические связи, существующие между различными модельными законами распределения (см. гл. 6), с одной стороны, и нормальным законом — с другой. Опираясь на центральную предельную теорему, можно объяснить, в частности, следующие полезные для статистической практики факты:

1. Распределение -биномиальной случайной величины асимптотически (по ) нормально с

параметрами Данный результат известен как теорема Муавра — Лапласа (доказана впервые Муавром в 1733 г., когда еще не была известна центральная предельная теорема) и является прямым следствием центральной предельной теоремы, примененной к случайным величинам (7.4) с учетом (7.5).

2. Распределение Х-пуассоновской случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами

3. Распределение, -гипергеометрическойслучай, ной величины асимптотически (по нормально с параметрами

4. Функция распределения нормированной -мерной -полиномиальной случайной величины

при стремится к функции распределения несобственного (вырожденного) нормального закона с вектором нулевых средних значений и с ковариационной матрицей

имеющей ранг, равный (см., например, «Приложение» в [12]).

5. Распределение случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами

6. Распределение случайной величины асимптотически (по ) нормально с параметрами