6.1.7. Равномерное (прямоугольное) распределение.

Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т. е.

Так как график функции изображается в виде прямоугольника (см. рис. 6.2), то такое распределение также называют прямоугольным.

Соответственно функция распределения равномерного закона задается соотношениями:

Примерами реальных ситуаций, связанных с необходимостью рассмотрения равномерно распределенных случайных величин, могут служить: анализ ошибок округления при проведении числовых расчетов (такая ошибка, как правило, оказывается равномерно распределенной на интервале от —5 до +5 единиц округляемого десятичного знака); время ожидания «обслуживания» при точно периодическом, через каждые Т единиц времени, включении (прибытии) «обслуживающего устройства» и при случайном поступлении (прибытии) заявки на обслуживание в этом интервале (например, время ожидания пассажиром прибытия поезда метро при условии точных двухминутных интервалов движения метро и случайного момента появления пассажира на платформе будет распределено приблизительно равномерно на интервале [0 мин, 2 мин]).

Рис. 6.2. Функция плотности равномерной случайной величины и суммы двух и трех независимых равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин

Отметим еще две важные ситуации, в которых используется равномерный закон. Во-первых, в теории и практике статистического анализа данных широко используется вспомогательный переход от исследуемой случайной величины с функцией распределения к случайной величине которая оказывается равномерно распределенной на отрезке [0, 1] (см. § 7.4). Этот прием является полезным при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных заданному закону распределения вероятностей (см. § 6.3.), при построении доверительных границ для исследуемой функции распределения и в ряде других задач

математической статистики. Во-вторых, равномерное распределение иногда используется в качестве «нулевого приближения» в описании априорного распределения анализируемых параметров в так называемом байесовском подходе в условиях полного отсутствия априорной информации об этом распределении (см. п. 8.6.6).

Числовые характеристики равномерного закона:

Отметим в заключение одно важное свойство суммы независимых равномерно распределенных случайных величин: распределение этой суммы очень быстро (по мере роста числа слагаемых) приближается к нормальному закону. В частности, если — равномерно распределенные на отрезке [0,1] и независимые случайные величины, то можно показать (см., например, [48, с. 271]), что плотность случайной величины имеет вид

(область возможных значений случайной величины очевидно, задается отрезком . Геометрическое изображение последовательного изменения вида плотности по мере роста числа слагаемых (для ) дано на рис. 6.2. Это свойство используется, в частности, при статистическом моделировании нормально распределенных наблюдений.