5.6.5. Квантили и процентные точки распределения.

При использовании различных методов математической статистики, особенно разнообразных статистических критериев (см. § 9.1) и методов построения интервальных оценок неизвестных параметров (см. гл. 8), широко используются понятия - квантилей и -процентных точек распределения

Квантилью уровня q (или -квантилью) непрерывной случайной величины , обладающей непрерывной функцией распределения называется такое возможное значение этой случайной величины, для которого вероятность события равна заданной величине q, т. е.

Очевидно, чем больше заданное значение тем больше будет и соответствующая величина квантили Частным случаем квантили — -квантилью является характеристика центра группирования — медиана.

Для всякой дискретной случайной величины функция распределения с увеличением аргумента меняется,

как мы видели, скачками, и, следовательно, существуют такие значения уровней q, для каждого из которых не найдется возможного значения точно удовлетворяющего уравнению (5.31). Поэтому в дискретном случае - квантиль определяется как любое число лежащее между двумя возможными соседними значениями такое, что , но .

Эмпирическими аналогами теоретических квантилей, как легко понять, будут члены вариационного ряда (порядковые статистики). Из их определения, в частности, следует что порядковая статистика является одновременно выборочной квантилью уровня поскольку относительная частота (эмпирический аналог вероятности!) наблюдений выборки, меньших равна как раз дроби

Часто вместо понятия квантили используют тесно связанное с ним понятие процентной точки. Под -процентной точкой случайной величины понимается такое ее возможное значение для которого вероятность события равна т. е.

Для дискретных случайных величин это определение корректируется аналогично тому, как это делалось при определении квантилей.

Из определения квантилей и процентных точек вытекает простое соотношение, их связывающее:

Для ряда наиболее часто встречающихся в статистической практике законов распределения (см. гл. 6) составлены специальные таблицы квантилей и процентных точек. Очевидно, достаточно иметь только одну из таких таблиц, так как если, например, по таблицам процентных точек требуется найти -квантиль нормального распределения, то следует искать, в соответствии с (5.32), -процентную точку того же распределения.

Наглядное геометрическое представление о смысле введенных понятий дает рис. 5.10. Здесь

Квантильные характеристики помимо своей основной роли вспомогательного теоретического статистического инструментария порой играют самостоятельную роль основных характеристик изучаемого закона распределения или содержательно интерпретируемых параметров модели. Так, широко распространенной характеристикой степени случайного рассеяния при изучении законов распределения заработной платы и доходов являются так называемые квантильные (уровня q) коэффициенты дифференциации которые определяются соотношением

(наиболее распространенными среди них являются децильные коэффициенты дифференциации, когда полагают ).

Рис. 5.10. Геометрическое пояснение смысла - квантили и Q -ной точки случай стандартного нормального распределения, (соответственно ) (соответственно

При анализе модельных законов распределения квантили и процентные точки используют также для обозначения практических границ диапазона изменения исследуемого признака: так, например, квантилями уровня 0,005 и 0,995 иногда определяют соответственно минимальный и максимальный уровни заработной платы работников в соответствующей системе показателей.