10.4.5. Оценивание положения центра симметричных распределений.

Старые наивные предположения по оценке параметра сдвига, о которых говорилось в предыдущем разделе, после известной работы Тьюки [141] были возрождены на новой базе. Опишем наиболее интересные из них. Ниже — независимая выборка из симметричного распределения и — ее вариационный ряд.

Урезанное среднее (trimmed mean) уровня для определяется формулой

где — наибольшее целое, не превосходящее При некоторых условиях на симметричное распределение оценка асимптотически нормальна и имеет асимптотическую дисперсию , где

    (10.16)

где — плотность

Среднее по Винзору уровня для определяется формулой

Эта оценка также при некоторых условиях на симметричное распределение асимптотически нормальна с асимптотической дисперсией где

    (10.18)

Оценки ориентированы на борьбу с экстремальными наблюдениями, которые рассматриваются как грубые ошибки. Эти оценки обладают хорошими свойствами, если грубые ошибки появляются одинаково часто как в левей, так и в правой частях вариационного ряда. Если распределение асимметрично, то лучше использовать оценки, приведенные в п. 10.4.6. Изучению свойств оценок параметра сдвига симметричных распределений посвящено много работ [76, 119, 120, 126]. Если рассматривать модели «засорения» нормального распределения Ф вида

где — функция распределения произвольного симметричного относительно засорения, то минимум максимальной (по ) асимптотической дисперсии оценки достигается на где уровень обрезания а выбирается таким образом, чтобы , где k — решение уравнения [121]:

Этот результат интересен в теоретическом плане, но для практики следует иметь в виду, что обычно и неизвестно, и распределение редко бывает строго симметричным.

Определенным шагом к оценкам, приведенным в п. 10.4.6, служит предложение Хампеля [119] оценивать одновременно и параметр сдвига, и параметр масштаба путем минимизации

    (10.19)

где

медиана абсолютных отклонений от . Минимум отыскивается с помощью итеративной процедуры. В качестве начального приближения для берется медиана и для s — медиана абсолютного отклонения от